¿Cuándo es $\{ x | f(x) \le 0\}$ ¿conectado a la ruta?

Question

Estoy tratando de determinar las condiciones de $f : \mathbb{R}^n_{\ge 0} \to \mathbb{R^n}$ bajo el cual $\{ x | f(x) \le 0\}$ está conectado a la ruta. Podemos suponer que $f$ es continua y cóncava (es decir, para cualquier $\lambda \in [0, 1]$ , $f(\lambda x + (1 - \lambda) y) \ge \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y)$ ).

Desigualdades en $\mathbb{R}^n$ son puntuales: $a \ge b$ si $a_i \ge b_i$ para cada $i$ .

Gracias.

Answer 1

Nota $L_{\lambda} = \{x\in\mathbf{R}^n\;|\;f(x)\leq \lambda\}$ . Preguntar por la conexión de la trayectoria de sólo $L_0$ es demasiado débil. Si $f$ es de la clase $\mathscr{C}^1$ y es _coercitivo entonces si hay un $\lambda$ tal que $L_{\lambda}$ no está conectada por un camino implica la existencia de un punto crítico, es el llamado "teorema del paso de la montaña". (Véase, por ejemplo, el bonito libro de Aubin y Ekeland, "Applied non-linear analysis"). Si $f$ es de la clase $\mathscr{C}^2$ el operador hessiano de $f$ en este punto crítico tendrá al menos un valor propio positivo y como máximo un valor propio negativo. (Véase, por ejemplo, la teoría de los índices de Morse débil y fuerte). $f$ no tiene un punto tan crítico, y es lo suficientemente suave, todo $L\{\lambda}$ estará conectada a la ruta.