Continuidad absoluta en $[a,b]$ implica el mapeo de conjuntos de medida cero a conjuntos de medida cero

Question

Estoy revisando algunos materiales de análisis real y teoría de la medida.

Quiero demostrar que si tenemos una función absolutamente continua sobre un intervalo cerrado, la función mapea conjuntos de medida cero a conjuntos de medida cero.

Encontré lo siguiente sobre lo que tengo algunas preguntas, encontrado en http://www.ms.uky.edu/~perry/676-s19/_assets/final-answers.pdf en la última página :

• Donde el autor escribe que $m(O) < \delta$ ¿se debe esto a que $m(O) < m(E) + \delta = \delta$ ?
• ¿Cómo afirma el autor que $f$ es continua en cada intervalo $[a_k,b_k]$ ? Desde $Z$ está contenida en $O$ ¿No puede ser que $[a_k,b_k]$ no está necesariamente contenida en $[a,b]$ ?
• ¿Por qué podemos concluir de $m(f(O)) = 0$ que $m(f(Z)) = 0$ ?

Gracias. Esta es mi primera vez aquí.

Answer 1

• Donde el autor escribe que $m(O) < \delta$ ¿se debe esto a que $m(O) < m(E) + \delta = \delta$ ?

$\mathcal O$ se acaba de elegir un conjunto abierto que contiene $Z$ de medida inferior a $\delta$ . Existen conjuntos abiertos de medida pequeña arbitraria que contienen $Z$ .

• ¿Cómo afirma el autor que $f$ es continua en cada intervalo $[a_k,b_k]$ ? Desde $Z$ está contenida en $O$ ¿No puede ser que $[a_k,b_k]$ no está necesariamente contenida en $[a,b]$ ?

Si $S \subseteq T \subseteq \mathbb R$ y $f$ es una función continua en $T$ su restricción a $S$ es siempre continua.

• ¿Por qué podemos concluir de $m(f(O)) = 0$ que $m(f(Z)) = 0$ ?

Demostraron que dado cualquier $\epsilon > 0$ existe un conjunto abierto $\mathcal O \subset [a,b]$ tal que $m(f(Z)) \leq m(f(\mathcal O)) < \epsilon$ . Así que para cualquier $\epsilon >0$ tenemos $m(f(Z)) < \epsilon$ . Esto sólo puede ocurrir si $m(f(Z)) = 0$ .