Dejemos que $A_1,A_2,\dots$ sea una secuencia de variables aleatorias independientes. ¿No es cierto que $\lim \inf$ y $\lim \sup$ de la secuencia $\left(A_n\right)_{n=1}^\infty$ es casi seguramente una constante? Mi razonamiento es que como sabemos que tanto $\lim\inf$ y $\lim\sup$ son medibles en la cola del álgebra sigma, y el $\lim\inf$ y $\lim\sup$ de $\left(A_n\right)_{n=1}^\infty$ son a su vez variables aleatorias, se deduce entonces de la ley de cero-uno de Kolmogoro que lim sup/lim inf son casi seguramente constantes.
Respuesta
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Sí, tienes razón, siempre que tus constantes puedan ser $\pm \infty$ . Centrándose en el $\limsup$ parte, se puede obtener una prueba un poco más directa que la de Kolmogorov 0-1 con lo siguiente:
Lema : Si $M$ es tal que $\sum \mathbb P(A_i > M) < \infty$ entonces $\limsup A_i \leq M$ casi seguro. Por el contrario, si $M$ es tal que $\sum \mathbb P(A_i > M) = \infty$ entonces $\limsup A_i \geq M$ casi seguro.
Ambas pruebas son aplicaciones directas de Borel-Cantelli. Para un $i$ la expresión $\mathbb P(A_i > M)$ es no creciente en $M$ por lo que si definimos $M^* := \sup \{M \colon \sum \mathbb P(A_i > M) = \infty\}$ se deduce que $\limsup A_i = M^*$ casi seguro.
EDITAR : En mi respuesta original, había asumido erróneamente que las variables estaban idénticamente distribuidas. Gracias a Karl por señalar (amablemente) mi error.
