Demuestra que $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4n^4+1}=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}\tanh\left(\frac{\pi}{2}\right)$

Question

Demuestra que

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4n^4+1}=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}\tanh\left(\frac{\pi}{2}\right)$$ .

Estoy pensando en utilizar las series de Fourier y la identidad de Parseval para abordar esto, he intentado $x^4$ , $4x^4+1$ Sin embargo, estos no funcionaron del todo bien.

Answer 1

Se puede demostrar utilizando Fórmula de suma de Poisson que $$\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{n^2+b^2}=\frac{\pi}{b}\tanh \pi b.$$ Configurar $b_{\pm}=e^{\pm i\pi/4}c$ en esta fórmula, obtenemos $$\begin{align} \sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{n^4+c^4}&=\frac{1}{b_+^2-b_-^2}\left(\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{n^2+b_-^2}-\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{n^2+b_+^2}\right)=\\ &=\frac{\pi}{2ic^2}\left[\frac{\tanh \pi b_-}{b_-}-\frac{\tanh \pi b_+}{b_+}\right].\tag{1} \end{align}$$ Por otro lado $$\tanh\frac{\pi e^{\pm i\pi/4}}{\sqrt{2}}=\tanh\frac{\pi(1\pm i)}{2}=\coth\frac{\pi}{2}.$$ Por lo tanto, el establecimiento de $c=1/\sqrt2$ en (1), obtenemos $$\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{n^4+\frac14}=2\pi\coth\frac{\pi}{2}.$$ A partir de esto se encuentra fácilmente $$\boxed{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4n^4+1}=\frac14\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^4+\frac14}=\frac{\pi}{4}\coth\frac{\pi}{2}+\frac12}$$ (Obsérvese la errata $\coth\rightarrow\tanh$ en su pregunta).