Evaluar la integral utilizando fracciones parciales $\oint_\gamma\frac{z}{z^4 − 1}\mathrm dz$

Question

Evaluar la integral

$\oint_\gamma\frac{z}{z^4 1}\mathrm dz$ , donde $\gamma = \{z : |z a| = a\}$ , $a > 1$ .

Así que sin usar el teorema del residuo y considerando que $z = a + ae^{i*\omega}$ da una fórmula integral muy difícil (al menos no sé cómo resolverla) la solución adecuada incluye fracciones parciales: $\frac{z}{z^4 1} = \frac{1}{4}*(\frac{1}{z+1}+\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z-i})$ De aquí se deduce que el único punto que se encuentra en el círculo $|z-a|=a$ es $z=1$ . Entonces, por el teorema de Cauchy-Goursat, obtenemos que todas las demás integrales son iguales a cero, excepto $\frac{1}{z-1}$ que por alguna razón es igual a $2i\pi$ .

La pregunta ahora es: por qué las otras tres ointegrales son 0 y por qué la última es igual a $2i\pi$ (sin dividirlo por 4)

Answer 1

El teorema del residuo es la herramienta estándar para resolver este tipo de integrales. En primer lugar, factoriza el polinomio en el denominador: $$z^4-1=(z^2+1)(z^2-1)=(z+i)(z-i)(z+1)(z-1) $$ Así, la función tiene $4$ singularidades, que son los polos simples $i,-i,1,-1$ y es holomorfo en otros lugares. Su curva $\gamma$ es un círculo de radio $a$ centrado en $a$ . Sólo cruza el eje imaginario en $z=0$ y como $a>1$ la única singularidad dentro del círculo es $z=1$ . Por lo tanto, por el teorema del residuo $$ \int_{\gamma}\frac{z}{z^4-1}dz=2\pi i \operatorname{Res}_1$$ con $$\operatorname{Res}_1= \frac{1}{(1+i)(1-i)(1+1)}=\frac{1}{4}$$ Por lo tanto, la integral es igual a $\frac{i\pi}{2}$ .

Answer 2

$z^4-1=0\to z=\pm 1,\pm i$

Ahora tenemos que comprobar si estas raíces están en el círculo.

$|z-a|=a$ es un círculo de radio $a$ y el centro $(a,0)$ y sólo $z=1$ se encuentra en el círculo. Por lo tanto:

$\displaystyle\oint_\gamma\frac{z}{z^4 − 1}\mathrm dz=2\pi i Res_{z\to1}(f(z))$

Answer 3

Si se espera que utilice la parametrización, considere $z = a + ae^{i\theta} \implies |z-a|=|a+ae^{i\theta}-a| = a$ . Entonces tienes,

$$\int_{\gamma} \frac z {z^4 - 1} \mathrm dz = i\int_0^{2\pi} \frac{ae^{i\theta}(a+ae^{i\theta})}{(a+ae^{i\theta})^4 - 1} \mathrm d\theta$$

Pero típicamente me quedaría con el teorema del residuo.

Answer 4

Forma alternativa sin utilizar el teorema del residuo, pero sí utilizando Fórmula integral de Cauchy , declarando:

$$f(w)=\frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\gamma}\frac{f(z)}{z-w}dz$$ reemplazamos $w=1$ (ya que has demostrado que sólo este punto está en el círculo) y $f(z)=\frac{z}{z^3+z^2+z+1}$ entonces tenemos

$$\frac{1}{4}=f(1)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|z-a|=a}\frac{f(z)}{z-1}dz=\\ \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|z-a|=a}\frac{z}{(z-1)(z^3+z^2+z+1)}dz=\\ \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|z-a|=a}\frac{z}{z^4-1}dz$$ y el resultado es el siguiente.

También se puede utilizar este teorema para demostrar $$1=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|z-a|=a}\frac{1}{z-1}dz$$