Independencia lineal de $x, x^3, |x^3|$

Question

¿Cómo puedo asegurarme de que $x, x^3, |x^3|$ son linealmente independientes? Sé que tengo que demostrar que $$kx+lx^3+m|x^3|=0\quad\forall x\in\mathbb{R}\quad \Rightarrow k=l=m=0,$$ pero no estoy seguro de cómo hacerlo. ¿Debo introducir diferentes valores para $x$ ?

Answer 1

Idea: si fueran dependientes, $|x|^3$ era un polinomio como combinación lineal de $x$ y $x^3$ . Esto es, por supuesto, imposible.

Answer 2

Sí, la idea es buena. Para $x=1$ se obtiene $$k+l+m=0$$ Para $x=-1$ se obtiene $$-k-l+m=0$$ ¿Puedes terminar?