¿La solución formal de la serie de potencias de $f(f(x))= \sin( x)$ ¿converger?

Question

He pasado algún tiempo utilizando gp-pari. Hay, por supuesto, un serie de potencia formal solución a $f(f(x)) = \sin x.$ Se muestra a continuación, identificado con el símbolo $g$ porque no estoy del todo seguro de que esté en función de algo.

Por otro lado, si los coeficientes siguen disminuyendo (en general), esto sugiere un radio de convergencia no nulo. Si el radio de convergencia es distinto de cero, entonces dentro de eso, no sólo es una función definida y, ya sabes, analítica, sino que la ecuación funcional se satisface. De hecho, todo lo que se necesita es un radio de convergencia estrictamente mayor que $\frac{\pi}{2}$ debido a ciertas simetrías. Por ejemplo, dado mi polinomio $g,$ parece que tenemos $g=1$ en torno a $x \approx 1.14.$ Entonces parece que tenemos un máximo local en $x =\frac{\pi}{2},$ y aparentemente hay $g \approx 1.14,$ estrictamente mayor que 1, lo cual es un punto importante. Así que todo caería en su lugar con un radio de convergencia suficientemente grande y no nulo.

$$\begin{array}{lll} g & = & x - \frac{x^3 }{ 12} - \frac{x^5 }{ 160} - \frac{53 x^7 }{ 40320} - \frac{23 x^9 }{71680} - \frac{92713 x^{11}}{1277337600} - \\\ & & \\\ & & \frac{742031 x^{13} }{79705866240} + \frac{594673187 x^{15} }{167382319104000} + \frac{329366540401 x^{17} }{91055981592576000} + \\\ & & \\\ & & \frac{104491760828591 x^{19} }{62282291409321984000} + \frac{1508486324285153 x^{21} }{4024394214140805120000} + \cdots \end{array}$$

Obsérvese que el polinomio $g$ es menor que $x$ pero más grande que $\sin x,$ para, digamos, $0 < x \leq \frac{\pi}{2}.$

Entonces, esa es la pregunta, ¿la serie de potencia formal que comienza con $g$ convergen en cualquier lugar que no sea $x = 0$ ?

EDIT: nota que los términos después de la inicial $x$ mismo han resultado ser todos $$\frac{a_{2 k + 3} x^{2 k + 3} }{2^k ( 2 k + 4)!}$$ donde cada $a_{2 k + 3}$ es un número entero. Esto parece demostrable, aunque todavía no lo he intentado.

EDIT, viernes 12 de noviembre de 2010. Ahora parece realmente improbable que este problema en particular tenga una respuesta analítica. Sospecho que la respuesta es $C^\infty$ y analítica a trozos, con fallo de analiticidad sólo en los puntos "parabólicos" donde la derivado tiene un valor absoluto tan grande como 1, siendo esos puntos $0,\pi, 2 \pi, \ldots.$ Sin embargo, necesitamos el punto de anclaje en el punto fijo 0, si no, ¿cómo empezar? Y creo que la serie de potencias servirá como expansión asintótica alrededor de 0.

Dado el problema del tamaño de la derivada, ahora espero grandes cosas, y una solución obviamente periódica y analítica, a la variante más fácil $f(f(x)) = g(x) = (1/2) \sin x.$ Me gustaría tanto una buena serie de potencias como una buena respuesta por métodos sumando iterados $g^{[k]}(x),$ que por el momento es un método totalmente misterioso para mí, pero atractivo para las funciones objetivo periódicas ya que la periodicidad sería automática.

Answer 1

EDIT, septiembre de 2014: Le escribí al profesor Ecalle, resulta (como esperaba) que los iterados fraccionarios construidos por la receta de abajo realmente salen $C^\infty,$ incluyendo un límite de crecimiento, en términos de $n,$ en el $n$ -a los derivados en $0.$ La frase clave es Clase Gevrey . Además, hace poco puse una mejor exposición y ejemplo de la técnica en https://math.stackexchange.com/questions/911818/how-to-get-fx-if-we-know-ffx-x2x/912324#912324

EDITADO EN FEBRERO DE 2016: dado que hay una nueva discusión sobre esto, pego la parte matemática de la respuesta del Prof. Ecalle, que incluye las referencias

Sí, en efecto, cualquier $f(x)$ analítica real en $0$ y de la forma

(*) $f(x)=x+ ax^{p+1} +o(x^{p+1})$ para $a \not= 0$

admite iterados fraccionarios naturales $g=f^{o w}$ (a la derecha o a la izquierda del cero) que no son sólo $C^\infty$ en $0$ pero de la clase Gevrey $1/p$ es decir, con límites del tipo

(**) $| g^{(n)}(0)/n! |< c_0 \cdot c_1^n \cdot (n/p)!$

Aquí, $g$ puede denotar cualquier iteración de orden racional o real $w$ . Usted puede encontrar detalles en mi publicación nº 7 en mi página web http://www.math.u-psud.fr/~ecalle/publi.html o de nuevo en la publicación no 16 ("Six Lectures etc"; en inglés), pp 106-107 , Ejemplo 2 (con $\nu=1$ ).

Aquí, la suavidad de Gevrey en $0$ resultados de $g(x^{1/p})$ siendo el Laplace de una función analítica con (en el peor de los casos) un crecimiento exponencial en el infinito.

Las "Seis Conferencias" están en Schlomiuk editor, 1993, Bifurcaciones y órbitas periódicas de campos vectoriales / editado por Dana Schlomiuk. La referencia es actualmente el número 19 en la página web de Ecalle, se lee:

Seis conferencias sobre transseries, funciones analizables y el constructivo Demostración de la conjetura de Dulac . Bifurcaciones y órbitas periódicas de Vector Fields, D. Schlomiuk ed., p.75-184, 1993, Kluwer

ORIGINAL: La respuesta correcta a esto pertenece al peculiar mundo de la dinámica compleja. Véase John Milnor, Dinámica en una variable compleja .

Primero, un ejemplo. Comience con $f(z) = \frac{z}{1 + z},$ que tiene derivación $1$ en $z=0$ pero, a lo largo del eje real positivo, es ligeramente inferior a $x$ cuando $x > 0.$ Queremos encontrar una coordenada Fatou, que Milnor (página 107) denota $\alpha,$ que es infinito en $0$ y por lo demás resuelve lo que se suele llamar la ecuación funcional de Abel, $$\alpha(f(z)) = \alpha(z) + 1.$$ Sólo hay una coordenada holomorfa de Fatou hasta una constante aditiva. Tomamos $$\alpha(z)= \frac{1}{ z}.$$ Para obtener iterados fraccionarios $f_s(z)$ de $f(z),$ con verdaderos $0 \leq s \leq 1,$ tomamos $$f_s (z) = \alpha^{-1} \left( s + \alpha(z) \right)$$ y finalmente $$f_s(z) = \frac{z}{1 + s z}.$$ Se cumple el homomorfismo de semigrupo deseado, $$f_s(f_t(z)) = f_{s + t}(z),$$ con $f_0(z) = z$ y $f_1(z) = f(z).$

Muy bien, el caso de $\sin z$ haciendo hincapié en el eje real positivo no es terriblemente diferente, siempre que nos limitemos al intervalo $0 < x \leq \frac{\pi}{2}.$ Para cualquier $x,$ definir $x_0 = x, \; x_1 = \sin x, \; x_2 = \sin \sin x,$ y en general $x_{n+1} = \sin x_n.$ Esta secuencia se aproxima a $0$ y de hecho lo hace para cualquier $z$ en un determinado conjunto abierto alrededor del intervalo $0 < x \leq \frac{\pi}{2}$ que se llama pétalo.

Ahora bien, dada una $x$ con $x_1 = \sin x$ y $x_{n+1} = \sin x_n$ es un resultado de Jean Ecalle en Orsay que podemos tomar $$\alpha(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \; \; \; \frac{3}{x_n^2} \; + \; \frac{6 \log x_n}{5} \; + \; \frac{79 x_n^2}{1050} \; + \; \frac{29 x_n^4}{2625} \; - \; n.$$

Tenga en cuenta que $\alpha$ en realidad se define en $0 < x < \pi$ con $\alpha(\pi - x) = \alpha(x),$ pero la simetría también significa que la función inversa vuelve al intervalo $0 < x \leq \frac{\pi}{2}.$

Antes de continuar, la técnica de límites del párrafo anterior se recoge en las páginas 346-353 de Ecuaciones funcionales iterativas por Marek Kuczma, Bogdan Choczewski y Roman Ger. La solución es específicamente el teorema 8.5.8 de la subsección 8.5D, desde la parte inferior de la página 351 hasta la parte superior de la página 353. La subsección 8.5A, páginas 346-347, sobre la ecuación de Julia, forma parte del desarrollo.

Como antes, definimos ( al menos para $0 < x \leq \frac{\pi}{2}$ ) las funciones interpoladoras parametrizadas, $$f_s (x) = \alpha^{-1} \left( s + \alpha(x) \right)$$

En particular $$f_{1/2} (x) = \alpha^{-1} \left( \frac{1}{2} + \alpha(x) \right)$$

Anoche calculé todo esto. En primer lugar, por la amabilidad de Daniel Geisler, tengo un pdf de la gráfica de este en:

http://zakuski.math.utsa.edu/~jagy/sine_half.pdf

Obsérvese que utilizamos las simetrías evidentes $f_{1/2} (-x) = - f_{1/2} (x)$ y $f_{1/2} (\pi -x) = f_{1/2} (x)$

El resultado da una interpolación de funciones $f_s(x)$ terminando en $f_1(x)=\sin x$ pero empezando por la función periódica continua de diente de sierra, $x$ para $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2},$ entonces $\pi - x$ para $\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2},$ continuar con el periodo $2 \pi.$ Tenemos $f_s(f_t(z)) = f_{s + t}(z),$ además de la holomorficidad y simetría de $\alpha$ demostrar que $f_s(x)$ es analítica en el intervalo abierto completo $0 < x < \pi.$

EDITAR, TUTORIAL : Dados unos $z$ en el plano complejo en el interior del triángulo equilátero con vértices en $0, \sqrt 3 + i, \sqrt 3 - i,$ tomar $z_0 = z, \; \; z_1 = \sin z, \; z_2 = \sin \sin z,$ en general $z_{n+1} = \sin z_n$ y $z_n = \sin^{[n]}(z).$ No se necesita mucho tiempo para demostrar que $z_n$ se mantiene dentro del triángulo, y que $z_n \rightarrow 0$ como $n \rightarrow \infty.$

En segundo lugar, decir $\alpha(z)$ es una coordenada verdadera de Fatou en el triángulo, $\alpha(\sin z) = \alpha(z) + 1,$ aunque no conocemos ningún valor concreto. Ahora, $\alpha(z_1) - 1 = \alpha(\sin z_0) - 1 = \alpha(z_0) + 1 - 1 = \alpha(z_0).$ También $\alpha(z_2) - 2 = \alpha(\sin(z_1)) - 2 = \alpha(z_1) + 1 - 2 = \alpha(z_1) - 1 = \alpha(z_0).$ La inducción, dada $\alpha(z_n) - n = \alpha(z_0),$ tenemos $\alpha(z_{n+1}) - (n+1) = \alpha(\sin z_n) - n - 1 = \alpha(z_n) + 1 - n - 1 = \alpha(z_0).$

Por lo tanto, teniendo en cuenta $z_n = \sin^{[n]}(z),$ tenemos $\alpha(z_n) - n = \alpha(z).$

Tercero, dejemos que $L(z) = \frac{3}{z^2}+ \frac{6 \log z}{5} + \frac{79 z^2}{ 1050} + \frac{29 z^4}{2625}$ . Se trata de una especie de expansión asintótica (a 0) para $\alpha(z),$ el error es $| L(z) - \alpha(z) | < c_6 |z|^6.$ Es poco probable que poner más términos en $L(z)$ conduce a una serie convergente, incluso en el triángulo.

En cuarto lugar, dado que algunos $z =z_0$ en el triángulo. Sabemos que $z_n \rightarrow 0$ . Así que $| L(z_n) - \alpha(z_n) | < c_6 |z_n|^6.$ O $| (L(z_n) - n ) - ( \alpha(z_n) - n) | < c_6 |z_n|^6 ,$ finalmente $$| (L(z_n) - n ) - \alpha(z) | < c_6 |z_n|^6 .$$ Por lo tanto, el límite utilizado es adecuado.

En quinto lugar, hay un efecto de arranque en uso. No tenemos ningún valor real para $\alpha(z),$ pero podemos escribir una serie de potencias formal para la solución de una ecuación de Julia para $\lambda(z) = 1 / \alpha'(z),$ es decir $\lambda(\sin z ) = \cos z \; \lambda(z).$ La serie de potencia formal para $\lambda(z)$ comienza (KCG Teorema 8.5.1) con $- z^3 / 6,$ el primer término de la serie de potencias de $\sin z$ después de la $z.$ Escribimos varios términos más, $$\lambda(z) \asymp - \frac{z^3}{6} - \frac{z^5}{30} - \frac{41 z^7}{3780} - \frac{4 z^9}{945} \cdots.$$ Encontramos el recíproco formal, $$\frac{1}{\lambda(z)} = \alpha'(z) \asymp -\frac{6}{z^3} + \frac{6}{5 z} + \frac{79 z}{525} + \frac{116 z^3}{2625} + \frac{91543 z^5}{6063750}\cdots.$$ Por último, integramos término a término, $$\alpha(z) \asymp \frac{3}{z^2} + \frac{6 \log z }{5} + \frac{79 z^2}{1050} + \frac{29 z^4}{2625} + \frac{91543 z^6}{36382500}\cdots.$$ y truncamos donde queramos, $$\alpha(z) = \frac{3}{z^2} + \frac{6 \log z }{5} + \frac{79 z^2}{1050} + \frac{29 z^4}{2625} + O(z^6)$$

Desde el punto de vista numérico, permítanme dar algunas indicaciones de lo que ocurre, en particular para destacar $f_{1/2} (\pi/2) = 1.140179\ldots.$

    x      alpha(x)      f(x)       f(f(x))     sin x       f(f(x))- sin x
1.570796   2.089608    1.140179    1.000000    1.000000      1.80442e-11
1.560796   2.089837    1.140095    0.999950    0.999950      1.11629e-09
1.550796   2.090525    1.139841    0.999800    0.999800      1.42091e-10
1.540796   2.091672    1.139419    0.999550    0.999550      3.71042e-10
1.530796   2.093279    1.138828    0.999200    0.999200      1.97844e-10
1.520796   2.095349    1.138070    0.998750    0.998750      -2.82238e-10
1.510796   2.097883    1.137144    0.998201    0.998201      -7.31867e-10
1.500796   2.100884    1.136052    0.997551    0.997551      -1.29813e-09
1.490796   2.104355    1.134794    0.996802    0.996802      -1.14504e-09
1.480796   2.108299    1.133372    0.995953    0.995953      9.09416e-11
1.470796   2.112721    1.131787    0.995004    0.995004      1.57743e-09
1.460796   2.117625    1.130040    0.993956    0.993956      5.63618e-10
1.450796   2.123017    1.128133    0.992809    0.992809      -3.00337e-10
1.440796   2.128902    1.126066    0.991562    0.991562      1.19926e-09
1.430796   2.135285    1.123843    0.990216    0.990216      2.46512e-09
1.420796   2.142174    1.121465    0.988771    0.988771      -2.4357e-10
1.410796   2.149577    1.118932    0.987227    0.987227      -1.01798e-10
1.400796   2.157500    1.116249    0.985585    0.985585      -1.72108e-10
1.390796   2.165952    1.113415    0.983844    0.983844      -2.31266e-10
1.380796   2.174942    1.110434    0.982004    0.982004      -4.08812e-10
1.370796   2.184481    1.107308    0.980067    0.980067      1.02334e-09
1.360796   2.194576    1.104038    0.978031    0.978031      3.59356e-10
1.350796   2.205241    1.100627    0.975897    0.975897      2.36773e-09
1.340796   2.216486    1.097077    0.973666    0.973666      -1.56162e-10
1.330796   2.228323    1.093390    0.971338    0.971338      -5.29822e-11
1.320796   2.240766    1.089569    0.968912    0.968912      8.31102e-10
1.310796   2.253827    1.085616    0.966390    0.966390      -2.91373e-10
1.300796   2.267522    1.081532    0.963771    0.963771      -5.45974e-10
1.290796   2.281865    1.077322    0.961055    0.961055      -1.43066e-10
1.280796   2.296873    1.072986    0.958244    0.958244      -1.58642e-10
1.270796   2.312562    1.068526    0.955336    0.955336      -3.14188e-10
1.260796   2.328950    1.063947    0.952334    0.952334      3.20439e-10
1.250796   2.346055    1.059248    0.949235    0.949235      4.32107e-10
1.240796   2.363898    1.054434    0.946042    0.946042      1.49412e-10
1.230796   2.382498    1.049505    0.942755    0.942755      3.42659e-10
1.220796   2.401878    1.044464    0.939373    0.939373      4.62813e-10
1.210796   2.422059    1.039314    0.935897    0.935897      3.63659e-11
1.200796   2.443066    1.034056    0.932327    0.932327      3.08511e-09
1.190796   2.464924    1.028693    0.928665    0.928665      -8.44918e-10
1.180796   2.487659    1.023226    0.924909    0.924909      6.32892e-10
1.170796   2.511298    1.017658    0.921061    0.921061      -1.80822e-09
1.160796   2.535871    1.011990    0.917121    0.917121      3.02818e-10
1.150796   2.561407    1.006225    0.913089    0.913089      -3.52346e-10
1.140796   2.587938    1.000365    0.908966    0.908966      9.35707e-10
1.130796   2.615498    0.994410    0.904752    0.904752      -2.54345e-10
1.120796   2.644121    0.988364    0.900447    0.900447      -6.20484e-10
1.110796   2.673845    0.982228    0.896052    0.896052      -7.91102e-10
1.100796   2.704708    0.976004    0.891568    0.891568      -1.62699e-09
1.090796   2.736749    0.969693    0.886995    0.886995      -5.2244e-10
1.080796   2.770013    0.963297    0.882333    0.882333      -8.63283e-10
1.070796   2.804543    0.956818    0.877583    0.877583      -2.85301e-10
1.060796   2.840386    0.950258    0.872745    0.872745      -1.30496e-10
1.050796   2.877592    0.943618    0.867819    0.867819      -2.82645e-10
1.040796   2.916212    0.936899    0.862807    0.862807      8.81083e-10
1.030796   2.956300    0.930104    0.857709    0.857709      -7.70554e-10
1.020796   2.997914    0.923233    0.852525    0.852525      1.0091e-09
1.010796   3.041114    0.916288    0.847255    0.847255      -4.96194e-10
1.000796   3.085963    0.909270    0.841901    0.841901      6.71018e-10
0.990796   3.132529    0.902182    0.836463    0.836463      -9.28187e-10
0.980796   3.180880    0.895023    0.830941    0.830941      -1.45774e-10
0.970796   3.231092    0.887796    0.825336    0.825336      1.26379e-09
0.960796   3.283242    0.880502    0.819648    0.819648      -1.84287e-10
0.950796   3.337412    0.873142    0.813878    0.813878      5.84829e-10
0.940796   3.393689    0.865718    0.808028    0.808028      -2.81364e-10
0.930796   3.452165    0.858230    0.802096    0.802096      -1.54149e-10
0.920796   3.512937    0.850679    0.796084    0.796084      -8.29982e-10
0.910796   3.576106    0.843068    0.789992    0.789992      3.00744e-10
0.900796   3.641781    0.835396    0.783822    0.783822      8.10903e-10
0.890796   3.710076    0.827666    0.777573    0.777573      -1.23505e-10
0.880796   3.781111    0.819878    0.771246    0.771246      5.31326e-10
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0.860796   3.931924    0.804132    0.758362    0.758362      3.97021e-10
0.850796   4.011981    0.796177    0.751806    0.751806      -7.84946e-10
0.840796   4.095339    0.788168    0.745174    0.745174      -3.03503e-10
0.830796   4.182159    0.780107    0.738469    0.738469      2.63202e-10
0.820796   4.272614    0.771994    0.731689    0.731689      -7.36693e-11
0.810796   4.366886    0.763830    0.724836    0.724836      -1.84604e-10
0.800796   4.465171    0.755616    0.717911    0.717911      3.22084e-10
0.790796   4.567674    0.747354    0.710914    0.710914      -2.93204e-10
0.780796   4.674617    0.739043    0.703845    0.703845      1.58448e-11
0.770796   4.786234    0.730686    0.696707    0.696707      -8.89497e-10
0.760796   4.902777    0.722282    0.689498    0.689498      2.40592e-10
0.750796   5.024513    0.713833    0.682221    0.682221      -3.11017e-10
0.740796   5.151728    0.705339    0.674876    0.674876      7.32554e-10
0.730796   5.284728    0.696801    0.667463    0.667463      -1.73919e-10
0.720796   5.423842    0.688221    0.659983    0.659983      -1.66422e-10
0.710796   5.569419    0.679599    0.652437    0.652437      5.99509e-10
0.700796   5.721838    0.670935    0.644827    0.644827      -2.45424e-10
0.690796   5.881501    0.662231    0.637151    0.637151      -6.29884e-10
0.680796   6.048843    0.653487    0.629412    0.629412      1.86262e-10
0.670796   6.224333    0.644704    0.621610    0.621610      -5.04285e-10
0.660796   6.408471    0.635883    0.613746    0.613746      -6.94697e-12
0.650796   6.601802    0.627025    0.605820    0.605820      -3.81152e-10
0.640796   6.804910    0.618129    0.597834    0.597834      4.10222e-10
0.630796   7.018428    0.609198    0.589788    0.589788      -1.91816e-10
0.620796   7.243040    0.600231    0.581683    0.581683      -4.90592e-10
0.610796   7.479486    0.591230    0.573520    0.573520      4.29742e-10
0.600796   7.728570    0.582195    0.565300    0.565300      -1.38719e-10
0.590796   7.991165    0.573126    0.557023    0.557023      -4.05081e-10
0.580796   8.268218    0.564025    0.548690    0.548690      -5.76379e-10
0.570796   8.560763    0.554892    0.540302    0.540302      1.49155e-10
0.560796   8.869925    0.545728    0.531861    0.531861      1.0459e-11
0.550796   9.196935    0.536533    0.523366    0.523366      -1.15537e-10
0.540796   9.543137    0.527308    0.514819    0.514819      -2.84462e-10
0.530796   9.910004    0.518054    0.506220    0.506220      6.24335e-11
0.520796   10.299155    0.508771    0.497571    0.497571      -9.24078e-12
0.510796   10.712365    0.499460    0.488872    0.488872      8.29491e-11
0.500796   11.151592    0.490122    0.480124    0.480124      3.31769e-10
0.490796   11.618996    0.480757    0.471328    0.471328      2.27307e-10
0.480796   12.116964    0.471366    0.462485    0.462485      3.06434e-10
0.470796   12.648140    0.461949    0.453596    0.453596      4.77846e-11
0.460796   13.215459    0.452507    0.444662    0.444662      1.53162e-10
0.450796   13.822186    0.443041    0.435682    0.435682      -2.87541e-10
0.440796   14.471963    0.433551    0.426660    0.426660      -5.20332e-11
0.430796   15.168860    0.424037    0.417595    0.417595      -8.17951e-11
0.420796   15.917436    0.414501    0.408487    0.408487      -4.6788e-10
0.410796   16.722816    0.404944    0.399340    0.399340      3.70729e-10
0.400796   17.590771    0.395364    0.390152    0.390152      -6.97547e-11
0.390796   18.527825    0.385764    0.380925    0.380925      -2.45522e-10
0.380796   19.541368    0.376143    0.371660    0.371660      4.09758e-10
0.370796   20.639804    0.366503    0.362358    0.362358      1.15221e-10
0.360796   21.832721    0.356843    0.353019    0.353019      -4.75977e-11
0.350796   23.131092    0.347165    0.343646    0.343646      -4.27696e-10
0.340796   24.547531    0.337468    0.334238    0.334238      2.12743e-10
0.330796   26.096586    0.327755    0.324796    0.324796      4.06133e-10
0.320796   27.795115    0.318024    0.315322    0.315322      -2.71476e-10
0.310796   29.662732    0.308276    0.305817    0.305817      -3.74988e-10
0.300796   31.722372    0.298513    0.296281    0.296281      -1.50491e-10
0.290796   34.000986    0.288734    0.286715    0.286715      2.17798e-11
0.280796   36.530413    0.278940    0.277121    0.277121      4.538e-10
0.270796   39.348484    0.269132    0.267499    0.267499      5.24261e-11
0.260796   42.500432    0.259311    0.257850    0.257850      7.03059e-11
0.250796   46.040690    0.249475    0.248175    0.248175      -1.83863e-10
0.240796   50.035239    0.239628    0.238476    0.238476      4.06119e-10
0.230796   54.564668    0.229768    0.228753    0.228753      -2.56253e-10
0.220796   59.728239    0.219896    0.219007    0.219007      -7.32657e-11
0.210796   65.649323    0.210013    0.209239    0.209239      3.43103e-11
0.200796   72.482783    0.200120    0.199450    0.199450      -1.20351e-10
0.190796   80.425131    0.190216    0.189641    0.189641      1.07544e-10
0.180796   89.728726    0.180303    0.179813    0.179813      9.93221e-11
0.170796   100.721954    0.170380    0.169967    0.169967      2.63903e-10
0.160796   113.838454    0.160449    0.160104    0.160104      6.74095e-10
0.150796   129.660347    0.150510    0.150225    0.150225      4.34057e-10
0.140796   148.983681    0.140563    0.140332    0.140332      -2.90965e-11
0.130796   172.920186    0.130610    0.130424    0.130424      4.02502e-10
0.120796   203.060297    0.120649    0.120503    0.120503      -1.85618e-11
0.110796   241.743576    0.110683    0.110570    0.110570      4.2044e-11
0.100796   292.525678    0.100711    0.100626    0.100626      -1.73504e-11
0.090796   361.023855    0.090734    0.090672    0.090672      2.88887e-10
0.080796   456.537044    0.080752    0.080708    0.080708      -2.90848e-10
0.070796   595.371955    0.070767    0.070737    0.070737      4.71103e-10
0.060796   808.285844    0.060778    0.060759    0.060759      -3.90636e-10
0.050796   1159.094719    0.050785    0.050774    0.050774      3.01403e-11
0.040796   1798.677124    0.040791    0.040785    0.040785      3.77092e-10
0.030796   3159.000053    0.030794    0.030791    0.030791      2.4813e-10
0.020796   6931.973789    0.020796    0.020795    0.020795      2.95307e-10
0.010796   25732.234731    0.010796    0.010796    0.010796      1.31774e-10
    x       alpha(x)        f(x)        f(f(x))     sin x       f(f(x))- sin x

Answer 2

Esto también es un comentario. Hay otra forma razonablemente eficiente de hacer este tipo de cálculo. Dejemos que $L$ sea el operador lineal sobre series de potencias formales definido por $L(g) = g(\sin x)$ . (En lugar de $\sin x$ podríamos utilizar cualquier serie de potencias formal a partir de $x$ .) Sea $I$ sea el operador de identidad, y sea $\Delta= L-I$ . Entonces $\Delta$ mata el término de menor grado de su argumento, por lo que cualquier suma infinita $\sum_n a_n \Delta^n(g)$ converge como una serie de potencia formal. Si $\alpha$ es un número entero no negativo, entonces $$L^\alpha(g) = (I+\Delta)^\alpha(g) = \sum_i \binom{\alpha}{i}\Delta^i(g).$$ El coeficiente de $x^n$ a la derecha es un polinomio en $\alpha$ y por lo tanto tiene sentido para cualquier $\alpha$ por lo que podemos definir $L^\alpha$ para cualquier $\alpha$ por esta fórmula; y siempre tendremos $L^\alpha\circ L^\beta= L^{\alpha+\beta}$ . Así que $f(x) = L^{1/2}(x)$ satisface $f(f(x)) = \sin x$ . Utilizando este enfoque podemos calcular fácilmente los coeficientes de $f(x)$ hasta $x^{100}$ en unos pocos segundos en Maple (aunque no pretendo que este enfoque sea más eficiente que el de Kevin O'Bryant).

Cabe señalar que este enfoque está estrechamente relacionado con la representación de la composición de series de potencias como multiplicación de matrices.

Answer 3

Esto es más un comentario que una respuesta. El siguiente código de Mathematica dio los primeros 100 coeficientes en 44 segundos.

Do[
   f[x_] = Sum[a[k] x^k, {k, 0, exp}];
   term1 = Coefficient[f[f[x]], x, exp];
   term2 = SeriesCoefficient[Sin[x], {x, 0, exp}];
   a[exp] = a[exp] /. First[FindInstance[term1 == term2, a[exp], Rationals]],
 {exp, 0, 100}]
Table[ a[k], {k, 0, 100}]

Aquí, $f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k$ . Como era de esperar, $a_{2k}=0$ para $0\leq k \leq 50$ y $a_{2k+1} (2k+2)! 2^{k-1}$ es un número entero para $0\leq k \leq 49$ .

Esta es la lista de $a_{2k+1} (2k+2)! 2^{k-1}$ para $0\leq k \leq 22$ .

1, 
-2, 
-9, 
-212, 
-9315, 
-556278, 
-25971085, 
4757385496, 
2964298863609, 
1044917608285910, 
215713544372776879, 
-62932769961642167868, 
-98704332065950259333867, 
-30188592688651749114181790, 
58856949571932104601673308075, 
77375921970586388105168106822960, 
-72564223774641266435601127563343119, 
-334464255008553673036506122999946116946, 
-40744061094877107085401232437389280011673, 
2173769171456754713290183664020158569935376220, 
3467462783233757169265913185746537990884591231373,
-21502898790444864584967220140381964189431832253894982,
-93866159932956697746363373697973240405899859356681018397

Y aquí está $\log(|a_k|)$ redondeado al número entero más cercano para impar $k$ entre 0 y 200:

0, -2, -5, -7, -8, -10, -12, -13, -13, -13, -15, -16, -16, -18, -17, 
-18, -19, -18, -21, -18, -19, -19, -19, -19, -18, -20, -18, -19, -17, 
-18, -17, -16, -16, -15, -15, -14, -15, -13, -15, -11, -13, -10, -10, 
-8, -8, -7, -6, -5, -4, -4, -2, -2, 0, -1, 2, 1, 4, 2, 6, 4, 8, 8, 
10, 10, 13, 13, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 27, 27, 29, 30, 
32, 33, 35, 35, 38, 38, 41, 39, 44, 43, 47, 47, 50, 50, 53, 54, 57, 
57, 60, 61, 63

Eso me parece un crecimiento súper exponencial.

Answer 4

La comprobación de los numeradores 53,23,92713 (sin tener en cuenta los signos) en la fiable OEIS conduce a A048602 . Que tiene referencias y comentarios La recursión existe para los coeficientes, pero es demasiado complicada de procesar sin un sistema de álgebra computacional

Si se intenta de forma obvia componer g con ella misma cuando sube a $x^{23}$ entonces obtendrá términos hasta $x^{529}$ todos menos uno son inútiles. Maple tiene un paquete de series de potencia que permite la composición y trunca todos los términos más allá del orden que especifiques. Nunca lo he usado antes, pero parece que puede ser bastante ágil.

actualización He eliminado mis términos porque otros han calculado más con mejores métodos. Kevin señala que los términos más grandes de los primeros 100 son $a_1=1,a_3=-0.083$ y $a_{99}=0.0231$ . 100 parece un lugar razonable para detenerse, pero Gottfreid fue más allá. A menos que hagas clic en el enlace a sus parcelas, podrías perderte eso (según él) $a_{255}>10^{48}$ . Creo que tiene razón en cuanto a los tamaños. Pensé que tal vez era un artefacto de cálculo, pero mis propios cálculos modestos utilizando el método encantador de Ira están de acuerdo con el suyo (basado en una parcela) hasta donde llegué que era hasta :

[97, -0.011673], [99, 0.023144], [101, 0.83376e-1], [103, -.11914], [105, -.62229], [107, .60156], [109, 4.8816], [111, -2.6819], [113, -40.354], [115, 6.0469], [117, 351.82], [119, 88.156]

Answer 5

Otro comentario de ayuda: Existe un enunciado general sobre el radio de convergencia de los iterados fraccionarios desarrollados en un punto fijo con multiplicador 1:

El conjunto de valores $\lambda$ para la cual la iteración regular de las potencias formales $f^\lambda$ tiene un radio de convergencia no nulo es (1) sólo $\lambda=0$ (2) los puntos $k\lambda_0$ , $k\in\mathbb{Z}$ por un lado, y por otro $\lambda_0\in\mathbb{C}$ . Ejemplo: $e^z-1$ con $\lambda_0=1$ . (3) todo el plano complejo. Ejemplo $\frac{z}{1-z}$ .

Este resultado se debe a Écalle [1] y al trabajo preliminar de Baker [2]. En nuestro caso la función original $\sin(x)$ tiene un radio de convergencia distinto de cero, y por tanto todas sus iteraciones enteras también. Así que sólo puede ocurrir el caso (2) con $\lambda_0=\frac{1}{n}$ para algún número entero $n$ o el caso (3). Mi conjetura es el caso (2) con $\lambda_0=1$ pero hay que hacer la prueba particular, (como lo hizo Baker para $e^x-1$ )

[1] Écalle, J. (1973). Naturaleza del grupo de órdenes de iteración complejos de una transformación holomorfa en la vecindad de un punto fijo de multiplicador 1. C. R. Acad. Sci. de París, Ser. A, 276, 261-263.

[2] Baker, I. N. (1962). Permutable power series and regular iteration. J. Aust. Math. Soc., 2, 265-294.