Encontrando $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \sin(\frac\pi{\sqrt{n^2+k}})$

Question

Encuentre $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \sin(\frac\pi{\sqrt{n^2+k}})$$

Creo que esto tiene que ser evaluado con sumas de riemann. He intentado utilizar $\sin x\approx x$ como n es grande, pero eso me llevó a $\int_0^1 (1+1/x)^{-1/2}$ pero eso me da una respuesta equivocada. ¿Alguna sugerencia?

EDIT: Me gustaría ver una solución con sumas de Riemann.

Answer 1

Creo que esto se puede hacer sin sumas de Riemann.

Puede utilizar el hecho de que, como $n \to \infty$ , $$ \sin\left(\frac\pi{\sqrt{n^2+k}}\right) =\frac\pi{\sqrt{n^2+k}}+O\left(\frac\pi{(n^2+k)^{3/2}}\right) $$ para conseguir $$ \sum_{k=1}^n\sin\left(\frac\pi{\sqrt{n^2+k}}\right) =\sum_{k=1}^n\frac\pi{\sqrt{n^2+k}}+\sum_{k=1}^nO\left(\frac\pi{(n^2+k)^{3/2}}\right). $$ Por un lado, como $n \to \infty$ , $$ \frac{\pi\: n}{\sqrt{n^2+n}}\leq \sum_{k=1}^n\frac\pi{\sqrt{n^2+k}}\leq\frac{\pi\: n}{\sqrt{n^2+1}} $$ dando, como $n \to \infty$ ,

$$ \sum_{k=1}^n\frac\pi{\sqrt{n^2+k}} \to \pi. $$

Por otro lado, existe $C\geq 0$ de tal manera que, como $n \to \infty$ , $$ \frac{C\pi\: n}{(n^2+n)^{3/2}}\leq \sum_{k=1}^nO\left(\frac\pi{(n^2+k)^{3/2}}\right)\leq\frac{C\pi\: n}{(n^2+1)^{3/2}} $$ dando, como $n \to \infty$ ,

$$ \sum_{k=1}^nO\left(\frac\pi{(n^2+k)^{3/2}}\right) \to 0. $$

Finalmente,

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \sin\left(\frac\pi{\sqrt{n^2+k}}\right)= \pi.$$

Answer 2

Utilice la desigualdad $$x - \frac{1}{6}x^3 \leq \sin x \leq x, \quad x \in [0, \pi/2).$$ Para un tamaño suficientemente grande $n$ el sumando satisface: $$\frac{\pi}{\sqrt{n^2 + k}} - \frac{1}{6}\frac{\pi^3}{(n^2 + k)^{3/2}} \leq \sin\left(\frac{\pi}{\sqrt{n^2 + k}}\right) \leq \frac{\pi}{\sqrt{n^2 + k}} \tag{1}.$$ Para $k \in \{1, \ldots, n\}$ el lado derecho está ligado a $(1)$ está limitada por encima por $\frac{\pi}{n}$ mientras que el límite del lado izquierdo en $(1)$ está limitada por debajo por $$\frac{\pi}{\sqrt{n^2 + n}} - \frac{1}{6}\frac{\pi^3}{n^3}.$$ De ello se desprende que $$\frac{n\pi}{\sqrt{n^2 + n}} - \frac{1}{6}\frac{\pi^3}{n^2} \leq \sum_{k = 1}^n\sin\left(\frac{\pi}{\sqrt{n^2 + k}}\right) \leq \pi.$$ Por el principio de compresión, concluimos que $$\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n\sin\left(\frac{\pi}{\sqrt{n^2 + k}}\right) = \pi.$$