Distancia entre un punto y un $2d$ elipse en $3d$ espacio ambiental

Question

Supongamos que trabajamos en el espacio euclidiano 3D. Se nos da un punto arbitrario $p$ y una elipse 2d:

$$E=\{x:x^TQx\leq1,x^Tq=0\},$$

donde $Q$ es una matriz definida positiva y $q$ es un vector propio de $Q$ .

Digamos que queremos encontrar la distancia entre $p$ y $E$ es decir, queremos resolver

\begin{align} \min_{x\in E}&\|p-x\|_2^2.\\ \end{align}

Este problema puede resolverse sistemáticamente mediante multiplicadores lagrangianos.

¿Existen referencias, como artículos o libros, que resuelvan exactamente el mismo problema?

Answer 1

Dejemos que $p'$ sea la proyección ortogonal de $p$ en el plano con la elipse. Para cualquier $x\in E$ el teorema de Pitágoras da $\|p-x\|^2=\|p-p'\|^2+\|p'-x\|^2$ . Por lo tanto, el problema se reduce a minimizar $\|p'-x\|^2$ que es un problema bidimensional. Se puede encontrar la fórmula del punto de minimización $x$ aquí y aquí . Estos puestos son sobre la distancia a la frontera de la elipse. Dado que se considera la distancia a la elipse rellenada, hay una cosa más que comprobar: si $p'$ está dentro de la elipse, entonces $x=p'$ .