¿Cómo determino si la orientación de una base es positiva o negativa utilizando el producto cruzado?

Question

Sé que si tengo una base ortonormal en $\mathbb{R}^3$, a saber $e_1$, $e_2$ y $e_3$, entonces está positivamente orientada si

$$e_1 \times e_2 = e_3$$ $$e_2 \times e_3 = e_1$$ $$e_3 \times e_1 = e_2$$

Tendría sentido si estuviera negativamente orientada cuando

$$e_1 \times e_2 = -e_3$$ $$e_2 \times e_3 = -e_1$$ $$e_3 \times e_1 = -e_2$$

Pero me gustaría estar seguro. ¿Estoy en lo correcto?

Answer 1

Un conjunto $u$, $v$, $w$ de $\mathbb{R}^3$ está orientado positivamente si $(u\times v)\cdot w > 0$ y orientado negativamente si $(u\times v)\cdot w < 0$. En el caso de vectores ortonormales, eso probablemente es equivalente a lo que tienes.