¿Cuál es la covarianza de la exponencial de dos variables aleatorias distribuidas conjuntamente?

Question

Supongamos que tengo la variable normal bivariada $[X \ \ Y]'$ que tiene un medio $[\mu_X \ \ \mu_Y]'$ y la matriz de covarianza $ \left[ \begin{array}{cc} \sigma_X ^2 & \sigma_Y \ \sigma_X \ \\ \sigma_Y \ \sigma_X \ & \sigma_Y^2 \end{array} \right]$ .

Estoy tratando de averiguar qué es $\text{Cov}(e^X, e^Y)$ .

Conozco el lema de Stein que dice $\text{Cov}(g(X), Y) = \text{Cov}(X,Y)E[g'(X)]$ pero no sé cómo se deriva, o cómo extenderlo a funciones en ambos $X$ y $Y$ . Es de suponer que este caso debería ser más sencillo ya que se trata de la función exponencial.

De lo contrario, no sé qué otros pasos dar. No necesito probar esto, pero la respuesta es necesaria para un cálculo que estoy haciendo.

Answer 1

$$\operatorname{Cov}[e^X, e^Y] = \operatorname{E}[e^{X}e^{Y}] - \operatorname{E}[e^X]\operatorname{E}[e^Y] = \operatorname{E}[e^{X+Y}] - M_X(1) M_Y(1),$$ donde $M_X, M_Y$ son las funciones generadoras de momentos de las distribuciones marginales de $X$ y $Y$ . El manejo de $\operatorname{E}[e^{X+Y}]$ requiere un paso adicional, que es calcular la media y la varianza de $X+Y$ ya que su suma es normal siempre que $(X,Y)$ son normales bivariantes. En concreto, tenemos obviamente $$\mu = \operatorname{E}[X+Y] = \mu_X + \mu_Y$$ y $$\sigma^2 = \operatorname{Var}[X+Y] = \sigma_X^2 + 2\sigma_{XY} + \sigma_Y^2.$$ Esto da lugar a un tercer MGF que hay que calcular. Todos estos cálculos son sencillos si uno está familiarizado con las distribuciones normales bivariadas.