Mi creencia es que ningún resultado de la geometría algebraica que haga explícitamente el concepto de universo será completamente requerirá el uso de universos. De hecho, voy a presentar un argumento de que ningún resultado de este tipo necesita en realidad nada más que ZFC, y de hecho, que necesitan mucho menos que esto. (Pero tenga en cuenta que respondo como teórico de conjuntos y no como geómetra algebraico).
Mi razón es que hay varias jerarquías de debilitamiento conceptos del universo, que parecen ser suficientes para llevar llevar a cabo todos los argumentos que he escuchado utilizando universos pero que son hipótesis estrictamente más débiles desde el punto de vista de la teoría de conjuntos.
Un universo, como sabes, se conoce en la teoría de conjuntos como $H_\kappa$ el conjunto de todos los de tamaño hereditario menor que $\kappa$ para algunos conjuntos de cardinal inaccesible $\kappa$ . Cada uno de estos universos también tiene la forma $V_\kappa$ en la jerarquía acumulativa de Levy, porque $H_\kappa=V_\kappa$ para cualquier punto fijo de beth, que incluye todos los cardinales inaccesibles. Así, el Axioma del Universo que afirma que todo conjunto está en un universo, es equivalente a la afirmación del gran cardinal de que hay ilimitadamente muchos cardinales inaccesibles.
Esta hipótesis es relativamente baja en el gran cardinal jerarquía cardinal, por lo que desde esta perspectiva, es relativamente suave seguir adelante y usar universos. En la consistencia de consistencia, por ejemplo, es estrictamente más débil que la existencia de un único cardinal Mahlo, que se considera que se considera un gran cardinal muy débil en teoría, y las hipótesis más fuertes se consideran habitualmente en la teoría de conjuntos. Sin embargo, estas hipótesis superan definitivamente a ZFC en fuerza, a menos que ZFC ya sea inconsistente, y por eso tu pregunta es buena. Sigue el patrón en la teoría de conjuntos de la teoría de conjuntos de preguntar la fuerza cardinal exacta de una hipótesis dada.
Los conceptos del universo más débil que propongo utilizar en sustitución de los universos son los siguientes, en los que me tomo me tomo la libertad de introducir una nueva terminología.
- A universo débil es algo $V_\alpha$ que modela el ZFC. El axioma del universo débil es la afirmación de que todo conjunto está en un universo débil.
Este axioma es estrictamente más débil que el Axioma del Universo, ya que, de hecho, todo universo es ya un modelo del mismo. Es decir, si $\kappa$ es inaccesible, entonces hay un número ilimitado de $\alpha\lt\kappa$ con $V_\alpha$ elemental en $V_\kappa$ por el teorema de Lowenheim-Skolem, y así $V_\kappa$ satisface el Axioma del Universo Débil por sí mismo. Por lo que he visto, parece que la mayoría de las aplicaciones de universos en la geometría algebraica podrían llevarse a cabo con con universos débiles, si se tiene un poco más de cuidado en el tratamiento de los universos. tratar los universos. La diferencia es que cuando se utilizan universos débiles, hay que prestar atención a si una determinada construcción es definible dentro del universo o no, para para saber si el nivel superior $\kappa$ de los débiles universo débil, que ahora puede ser singular (y esta es la diferencia), se alcanza.
- Digamos que un universo muy débil es simplemente un modelo de conjunto transitivo de ZFC. (En la teoría de conjuntos, uno querría simplemente llamar a estos universos pero aquí esa palabra se toma con el significado anterior; así que podríamos llamarlos universos teóricos de conjuntos .) El axioma del universo muy débil (o axioma del universo teórico) es la afirmación de que todo conjunto es un elemento de un universo muy universo muy débil.
La diferencia entre un universo muy débil y un universo es que un universo muy débil $M$ puede estar equivocado sobre los conjuntos de potencias, aunque satisfaga su propia versión del axioma del conjunto de potencias. Los teóricos de conjuntos están muy atentos a tales universos muy débiles, y prestan atención en un construcción teórica de conjuntos a qué modelo de teoría de conjuntos se se lleve a cabo. Si los geómetras algebraicos prestaran atención similar a este punto, convirtiéndose así en en teóricos de conjuntos, creo que todos sus argumentos que utilizan universos podrían ser sustituidos esencialmente por universos muy débiles. Otro punto importante es que mientras los universos están siempre ordenados linealmente por inclusión, esto ya no es ya no es cierto para los universos muy débiles.
Ahora bien, incluso el Axioma del Universo Muy Débil trasciende el ZFC en fuerza de consistencia, porque implica claramente Con(ZFC). Así que permítanme describir ahora cómo se podría proporcionar una mayor reducción de la fuerza de la hipótesis, y capturar un uso de los universos dentro de la propia ZFC.
La clave es darse cuenta de que la geometría algebraica no realmente utiliza toda la fuerza de la ZFC. (Por favor, tomen esto con escepticismo, dado mi escaso contacto con la geometría algebraica. geometría algebraica). Me parece poco probable, por ejemplo, que uno necesite el Axioma de Reemplazo completo para llevar a cabo las principales construcciones de meta de la geometría algebraica. Supongamos que estos argumentos se pueden llevar a cabo en algún fragmento finito $ZFC_0$ de $ZFC$ por ejemplo, $ZFC$ restringido a fórmulas de complejidad $\Sigma_N$ para algunos número definido $N$ como por ejemplo $100$ más o menos. En este caso, permítanme definir que un buen-universo est $V_\kappa$ , siempre que se cumpla $ZFC_0$ . Todos esos universos suficientemente buenos universos tienen $V_\kappa=H_\kappa$ Al igual que con los universos, ya que estos serán puntos fijos. El axioma del universo suficientemente bueno Universo suficiente es la afirmación de que todo conjunto es miembro de un universo suficientemente bueno.
Ahora bien, mi afirmación es, en primer lugar, que este Axioma del Universo Suficientemente Bueno Axioma es suficiente para llevar a cabo la mayoría o incluso todas las aplicaciones de los universos en la geometría algebraica, siempre que siempre que se preste suficiente atención a las cuestiones de teoría de conjuntos teórica de conjuntos, y segundo, que este axioma es simplemente un teorema de ZFC. En efecto, se puede obtener más, que los diversos universos están de acuerdo entre sí en la verdad.
Teorema. Existe una clase cerrada no limitada definible de cardinales $\kappa$ de manera que cada $V_\kappa$ es un universo suficientemente bueno y, además, siempre que $\kappa\lt\lambda$ en $C$ entonces $\Sigma_N$ -la verdad en $V_\kappa$ está de acuerdo con $\Sigma_N$ -la verdad en $V_\lambda$ y además, está de acuerdo con $\Sigma_N$ la verdad en el universo completo $V$ .
Este teorema es exactamente una instancia de la Reflexión de Levy Teorema.
Bien, si estoy en lo cierto, entonces los geómetras algebraicos pueden llevar a cabo sus argumentos universales prestando mucha atención a la complejidad teórica de sus construcciones construcciones, y utilizando universos suficientemente buenos en lugar de universos.
Pero, ¿deben hacerlo? Para la mayoría de los propósitos, no creo que sí. El propósito principal de los universos es como un dispositivo de conveniencia para estratificar el universo completo por niveles, que pueden ser fructíferamente comparados por las nociones locales de grande y pequeño. Esto hace que sea una teoría muy conveniente teoría, teniendo numerosos conceptos locales de grande y pequeño.
Sin embargo, puedo imaginar un caso en el que se haya utilizado el teoría del universo para demostrar un resultado elemental, como último teorema de Fermat, y uno quiere saber cuáles son las hipótesis óptimas para la demostración. La pregunta sería si las hipótesis del universo adicional son necesarias o no. La idea central de mi respuesta aquí es que tal pregunta se responde sustituyendo los conceptos de universo que se que se utilizan en la prueba por cualquiera de los diversos conceptos de universo debilitado conceptos de universo debilitados que he mencionado anteriormente, y así realizar el teorema como un teorema de ZFC o mucho menos.
