Cómo interpretar $|z-c|$ , $z \in \mathbb{C}$ ?

Question

Cómo interpretar la expresión $$|z-c|, z \in \mathbb{C}$$ ?

Estoy pensando,

$$|z-c|=|a+bi-c|=|(a+c)+bi|=|w|$$

y entonces se pueden aplicar más reglas a la expresión más simple $|w|$ , $w \in \mathbb{C}$ .

¿Es este el camino?

Lo que me confunde es cómo interpretar lo positivo y lo negativo $z$ s (o $a$ s en $|a|$ ), como hay que hacer con los valores absolutos reales.

Eso es,

Sabiendo que estos dos números complejos tienen el mismo valor absoluto:

¿Cómo afecta a la interpretación de la expresión?
¿Significa esto que $|z-c|$ es "de dos caras" geométricamente?

Answer 1

$|z-c|$ es simplemente la distancia entre los puntos $z$ y $c$ en el plano complejo. Ahora $w=z-c$ es un número complejo, por lo que $|z-c|=|w|$ es también la distancia entre $w$ y el origen.

Answer 2

$|z-c|$ es la distancia desde $z$ a $c.$ Por ejemplo, el conjunto de $z\in \mathbb{C}$ satisfaciendo $|z-c|=1$ es la circunferencia del centro $c$ y el radio $1.$ Por supuesto, si escribe $w=z-c$ entonces estás haciendo una traducción: estás moviendo $c$ al origen. Así, se puede interpretar $|w|$ como la distancia del origen a $w.$