Encuentre los valores de $a$ para las que estas matrices conmutan, en $\mathbb{Z}_{23}$

Question

Encuentre los valores de $a$ para las que estas matrices conmutan, en $\mathbb{Z}_{23}$

$A = \left( \begin{array}{cc} 9 & 22 \\ 18 & a + 3 \end{array} \right) % \ \ \ \ \ B = \left( \begin{array}{cc} 6 & 22 \\ 18 & a \end{array} \right)$

Mi intento:

Si calculamos $AB$ y $BA$

$AB = \left( \begin{array}{cc} 9\cdot6 + 22\cdot18 & 22\cdot9 + 22\cdot a \\ 18\cdot6 + 18\cdot (a + 3) & 22\cdot18 + a\cdot(a + 3) \end{array} \right)$

$BA = \left( \begin{array}{cc} 9\cdot6 + 22\cdot18 & 22\cdot6 + 22\cdot (a + 3) \\ 18\cdot9 + 18\cdot a & 22\cdot18 + a\cdot(a + 3) \end{array} \right)$

Si comparamos las dos matrices elemento por elemento podemos ver que $AB=BA$ para cualquier valor de $a$ en $\mathbb{Z}_{23}$ .

¿Hay algún problema con esto? ¿Necesito reducir algo modulo $23$ ?

Answer 1

No es necesario hacer ninguna reducción. Tenga en cuenta que $B = A + 3I$ . Por lo tanto, $$AB = A(A + 3I) = A^2 + 3A = (A + 3I)A = BA.$$