¿Cómo puedo demostrar que $\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{(2i-1)^{2}} = \frac{π^2}{8}$ ?

Question

Tengo la serie $$\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{i^{2}} = \frac{^{2}}{6}$$

¿Cómo puedo demostrarlo? $$\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{(2i-1)^{2}} = \frac{^2}{8}$$

Lo he buscado por toda la web, estoy seguro de que está por ahí, pero no estoy muy familiarizado con los términos matemáticos en inglés. Cualquier enlace o ayuda se agradecería.

Answer 1

Una pista:

$$\sum_{i=1}^{\infty} \frac1{i^2} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac1{(2i - 1)^2} + \sum_{i=1}^{\infty} \frac1{(2i)^2}$$

Answer 2

Escribe $$ \frac{\pi^2}{6} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2} $$ (es decir, separar la suma en índices pares e Impares). A continuación, observe que $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2} = \frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{4}\cdot \frac{\pi^2}{6} . $$ ¿Se puede concluir de ahí?