Se le pide que interprete $g$ en función de $x$ y $q$ pero $y$ sigue presente en la ecuación definitoria $g=f-qy$ . Por lo tanto, se necesita la ecuación adicional \begin{align*} q = \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \end{align*} para expresar $y$ en función de $q$ (y $x$ ). Para ello, la función $y\mapsto \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ debe ser biyectiva (para cada $x$ ). Para garantizar la bijetividad se suele suponer que $f$ es fuertemente convexo.
La derivada parcial $\frac{\partial g}{\partial x}$ en realidad ya se deduce del diferencial total \begin{align*} dg = p\cdot dx - y\cdot dq \end{align*} Pero también su forma difícil de calcular $\frac{\partial g}{\partial x}$ funciona si se consideran cuidadosamente las dependencias: \begin{align*} g(x,q) &= f(x,y(x,q)) - q\cdot y(x,q)\\ \frac{\partial g}{\partial x} &= \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial x} - q\cdot\frac{\partial y}{\partial x}\\ &= p + q\cdot \frac{\partial y}{\partial x} - q\cdot\frac{\partial y}{\partial x}\\ &= p \end{align*}
Su ejemplo $f(x,y) = xy$ es inapropiado ya que $q=\frac{\partial f}{\partial y} = x$ no es un mapeo biyectivo desde $y$ a $q$ .
Podemos solucionarlo modificándolo por $f(x,y)=xy+\frac12y^2$ dando $q=x+y$ que tiene la inversa $y=q-x$ . La transformación de Legendre es entonces \begin{align*} g(x,q) &= x\cdot(q-x) + \frac12\left(q-x\right)^2 - q\cdot(q-x)\\ &= -\frac12 x^2 +qx -\frac12 q^2\\ &= -\frac12(x-q)^2 \end{align*} y \begin{align*} \frac{\partial g}{\partial x} &= q-x \end{align*} Para comparar: $p=\frac{\partial f}{\partial x} = y = q-x$ //.
Tenga en cuenta que encontrará algunas cosas sobre los antecedentes de la transformación de Legendre en El libro de Arnold sobre Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica .
