¿Existe una buena explicación intuitiva de por qué AdS/CFT con una temperatura distinta de cero corresponde a un agujero negro en la masa? ¿Y cuál es el papel de la temperatura y el potencial químico en este agujero negro?
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Surgical Commander
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Hay varias respuestas a esta pregunta. La que tenga más sentido intuitivo probablemente dependa de tu formación.
En primer lugar, a partir del programa de gravedad cuántica euclidiana se sabe que un espaciotiempo estacionario o estático puede ponerse a una temperatura finita continuando analíticamente el espaciotiempo a la firma euclidiana. La temperatura se identifica entonces como la longitud inversa de la dirección del tiempo girado, ahora llamada círculo térmico. Este enfoque es conocido por el estudio de las teorías de campo a temperatura finita, y fue desarrollado para el caso de la gravedad por Hawking y otros a finales de los 70 y principios de los 80. Los espacios-tiempo sin horizontes de agujeros negros, como el espacio de Minkowski, pueden ponerse a cualquier temperatura. Una vez hecha la continuación analítica, el círculo térmico puede compactarse a cualquier radio.
Sin embargo, los agujeros negros sólo pueden continuar analíticamente con una longitud específica para el círculo térmico. Esta longitud se elige para evitar un déficit cónico (un tipo de singularidad) en el espaciotiempo. Por ejemplo, el Schwarzschild euclidiano es (con $\tau = i t$ )
$ds^2 = \left(1-\frac{r_0}{r}\right) d\tau^2 + \left(1-\frac{r_0}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega_2^2.$
Cerca del horizonte, esto parece
$ds^2 \approx \left(\frac{r-r_0}{r_0}\right) d\tau^2 + \frac{r_0}{r-r_0} dr^2 + r_0^2 d\Omega_2^2 \approx \rho^2 \frac{d\tau^2}{4r_0^2} + d\rho^2 + r_0^2 d\Omega_2^2$ después de haber fijado $r=r_0 + \rho^2/(4r_0^2)$ .
Para que el $(\tau,\rho)$ -parte del espacio para ser un espacio localmente plano escrito en coordenadas polares, la periodicidad $\tau \sim \tau + 4\pi r_0$ se nos impone. Esto es sólo la temperatura inversa de Hawking.
Así pues, si una teoría de campos a temperatura finita ha de ser dual a una geometría, puede serlo sin horizonte y con él. La cuestión de cuál es el verdadero dual viene determinada por la termodinámica. En general, habría que tomar todas las soluciones y comparar su energía libre. Son posibles transiciones de fase interesantes, por ejemplo la transición Hawking-Page ( http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103922135 ). Para el caso de los agujeros negros en el parche de Poincare de AdS, el punto de partida habitual para AdS/CFT, no existe tal transición y la brana negra es siempre termodinámicamente preferible a AdS térmico.
Una segunda forma de ver que la temperatura finita corresponde a los agujeros negros en la masa es recordar la correspondencia agujero negro-cuerda negra ( http://arxiv.org/abs/hep-th/9612146 ). Ya se sabía antes de AdS/CFT que había una fuerte conexión entre las soluciones de p-brana de la supergravedad y las D-branas de la teoría de cuerdas. Ambas soluciones pueden calentarse. En el régimen de parámetros donde cada solución tiene sentido, las p-branas calentadas (para $p=3$ ) corresponden a los agujeros negros AdS del parche de Poincare (para una temperatura suficientemente pequeña). Las D-branas calentadas sólo corresponden a SYM a una temperatura finita. Así que la extensión a temperatura finita de la dualidad original de Maldacena es bastante obvia desde esta perspectiva.
Por último, el papel de la temperatura y el potencial químico (y cualquier otro posible potencial termodinámico) en el agujero negro se corresponden simplemente con los mismos potenciales en la teoría del campo dual. Por ejemplo, la rotación en el agujero negro se corresponde con la consideración de una teoría de campo en rotación ( http://arxiv.org/abs/hep-th/9908109 ).
Holographer
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La explicación de Surgical Commander, de imponer condiciones de contorno periódicas en el tiempo euclidiano, es muy buena, y en cierto sentido la forma más correcta de ver lo que se debe obtener. Añadiré aquí otra forma en la que puedes pensar en ello, más física y dinámicamente, para tener otra perspectiva.
Puedes pensar en la temperatura finita como si pusieras tu sistema débilmente en contacto con algún enorme baño de energía, y permitieras que se equilibrara (débilmente para no afectar demasiado a la física de tu sistema, sólo permites que intercambie energía lentamente). También puedes permitir que intercambie alguna carga conservada si quieres un conjunto gran canónico con potenciales químicos. En AdS/CFT, esto equivale a tener algún acoplamiento entre las condiciones de contorno de tus campos (también conocidos como operadores CFT) y el baño de calor. Puedes pensar en esto como si permitieras que la energía saliera y entrara de la frontera.
Comienza con un AdS vacío, con una frontera compacta. Si el baño de calor está caliente, la energía empezará a verterse en el bulto desde el acoplamiento de la frontera, y la energía de cualquier campo que tengas empezará a chapotear. En algún momento, con suficiente energía se hará lo suficientemente denso en algún lugar para formar un agujero negro. El agujero negro irradiará de forma Hawking. Si la radiación Hawking tiene la misma temperatura que el baño de calor, no habrá ningún intercambio neto de energía con el baño, y la radiación Hawking estará en equilibrio con el agujero negro.
Si la radiación de Hawking es más fría que el baño de calor, seguirán entrando cosas en el agujero negro más rápido de lo que éste irradia, por lo que el agujero negro crecerá. Finalmente, el agujero negro alcanzará la misma temperatura que el baño y se equilibrará.
Si la radiación Hawking es más caliente que el baño de calor, se filtrará y el agujero negro se encogerá al irradiar. Si es lo suficientemente grande, se enfría al hacerlo, por lo que en algún momento puede alcanzar el equilibrio con el baño. Si es demasiado pequeño (o el baño está demasiado frío para equilibrarse incluso con el agujero negro más frío posible), tiene una capacidad calorífica negativa, por lo que se calentará más a medida que pierda energía (!), y finalmente se evaporará. El baño podría entonces equilibrarse sólo con la radiación y sin agujero negro, si es lo suficientemente frío. (La energía de la radiación es cero en el límite clásico, siendo suprimida por alguna potencia de la longitud de Planck sobre la longitud de AdS).
Hay algunas circunstancias en las que un agujero negro puede ser semiclásicamente estable de este modo, pero no está favorecido termodinámicamente, por lo que se evaporará mediante eventos de tunelización.
Puedes añadir un comportamiento más rico añadiendo un potencial químico como sugieres, y permitiendo que la carga entre y salga también. La mayoría de las cosas se pueden intuir a partir de este tipo de imagen dinámica, añadiendo una física más interesante cuando sea necesario. Por ejemplo, un agujero negro podría necesitar estar cargado para soportar un campo eléctrico, de modo que las cosas cargadas no quieran entrar desde el límite. Pero si este campo tiene que ser demasiado fuerte, en el horizonte se puede producir un par de Schwinger, de modo que el agujero negro empieza a arrojar partículas cargadas, que se quedan en la masa como "pelo" cargado.
