Encontrar las dos últimas cifras de un número $A=(2016^{2015^{2014}}+2014^{2015^{2016}}+2017)^{2017}$ .
He tratado de escribir $A=100k+r$ y encontrar r en $A$ pero me quedé en eso. Cualquier solución será apreciada. Gracias.
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dan_fulea
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Trabajamos por debajo del módulo $100$ . Entonces $$ \begin{aligned} A &=\left(\ 2016^{2015^{2014}}+2014^{2015^{2016}}+2017\right)^{2017} \\ &=\left(\ 16^{2015^{2014}}+14^{2015^{2016}}+17\right)^{2017} \\ &=\left(\ 16^{2015^{2014}\text{ taken modulo }5} +14^{2015^{2016}\text{ taken modulo }10} +17\right)^{2017} \\ &\qquad\text{ since $16^1=16^{1+5}$ and $14^2=14^{2+10}$, both modulo hundred} \\ &\qquad\text{ and we have periodic repetitons after $16^1$ and $14^2$ with periods $5,10$} \\ &=\left(\ 16^{5} +14^{5} +17\right)^{2017} \\ &=\left(\ 76 +24 +17\right)^{2017} =17^{2017} \\ &=17^{2017\text{ taken modulo }40=\phi(100)} \\ &= 17^{17}=77\ . \end{aligned} $$ Todas las igualdades se mantienen en $\Bbb Z/100$ .
mathnoob
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Si consideramos la ecuación mod 100, obtenemos $(16^{2015^{2014}}+14^{2015^{2016}}+17)^{2017}$ . Ahora $16^6 = 16 mod(100)$ y la potencia de 14 se recicla después de 10 veces. así que tenemos que considerar las potencias de 16 mod 5 y las potencias de 14 mod 10 y tomar consideraciones de los primeros términos.
por $(16^5+14^5+17)^{2017}(mod100)=(76+24+17)^{2017}=17^{2017}$ . Ahora el orden de 17 es 20 en mod 100 y 2017 es 17 mod 100 así que $17^{17}=77$ mod. 100
