Relaciones factoriales de valores enteros

Question

Esta cuestión histórica recuerda las estimaciones de Pafnuty Chebyshev para la función de distribución de primos. En su derivación Chebyshev utilizó la secuencia de relación factorial $$u_n=\frac{(30n)!n!}{(15n)!(10n)!(6n)!}, \qquad n=0,1,2,\dots,$$ que asume sólo valores enteros. Este último hecho se puede establecer con la ayuda de $$\operatorname{ord}_p n! =\biggl\lfloor\frac{n}{p}\biggr\rfloor+\biggl\lfloor\frac{n}{p^2}\biggr\rfloor +\biggl\lfloor\frac{n}{p^3}\biggr\rfloor+\dots$$ y la verificación rutinaria de $$\lfloor 30x\rfloor+\lfloor x\rfloor-\lfloor 15x\rfloor-\lfloor 10x\rfloor-\lfloor 6x\rfloor\ge0.$$ Se conocen otros ejemplos similares a los de Chebyshev de secuencias factoriales con valores enteros; la lista completa de tales $$u_n=\frac{(a_1n)!\dots(a_rn)!}{(b_1n)!\dots(b_sn)!}$$ en el caso $s=r+1$ fue recientemente tabulado en [J.W. Bober, J. London Math. Soc. (2) 79 (2009) 422--444]. Una motivación para este problema de clasificación está en relación con una cierta aproximación a la hipótesis de Riemann, pero prefiero remitir a todos los interesados al artículo de Bober (que puede ser encontrar en el arXiv también). Las pruebas de $u_n\in\mathbb Z$ utilizar la fórmula anterior para $\operatorname{ord}_p n!$

Hay tres familias de 2 parámetros en la lista de Bober, a saber, $$\frac{(n+m)!}{n!m!}, \qquad \frac{(2n)!(2m)!}{n!(n+m)!m!}, \qquad\text{and}\qquad \frac{(2n)!m!}{n!(2m)!(n-m)!} \quad (n>m);$$ la primera incluye los coeficientes binomiales, mientras que algunas propiedades de la segunda familia se mencionan en esta pregunta . Para la familia binomial, una forma estándar de establecer la integralidad puramente combinatoriamente equivale a interpretar el factorial como los coeficientes de la expansión $$(1+t)^{n+m}=\sum_{k=0}^{n+m}\binom{n+m}{k} t^k,$$ es decir, como el número de $m$ -subconjuntos de elementos de un $(n+m)$ -sujeción. Se carece de una interpretación similar para las otras dos familias biparamétricas aunque Ira Gessel indica en [ J. Computación simbólica 14 (1992) 179--194] que el argumento inductivo junto con la identidad $$\frac{(2n)!(2(n+p))!}{n!(n+(n+p))!(n+p)!} =\sum_{k=0}^{\lfloor p/2\rfloor}2^{p-2k} \binom{p}{2k} \frac{(2n)!(2k)!}{n!(n+k)!k!} \qquad (p\geq 0)$$ permite demostrar que los números en cuestión son efectivamente enteros. Una ligera modificación de la fórmula puede utilizarse para demostrar que la tercera familia biparamétrica es de valor entero. En estos casos se utiliza una reducción a sumas binomiales para las que ya se conoce la integralidad. ya se conoce. Pero ¿qué pasa con las familias de 1 parámetro, como la de Chebyshev o, por ejemplo, $$\frac{(12n)!n!}{(6n)!(4n)!(3n)!}?$$ ¿Hay alguna manera de establecer la integralidad sin referirse a el $p$ -¿fórmula de orden?

Mi propia motivación se explica en el reciente preimpresión con Ole Warnaar, donde observamos un $q$ -versión de la integralidad en una "forma más fuerte".

Answer 1

Junto con los coeficientes binomiales, las otras dos familias infinitas gozan cada una de una recurrencia bastante sencilla. por ejemplo $$f(n,m)=\frac{(2n)!(2m)!}{n!(n+m)!m!}.$$ tiene $f(0,t)=\binom{2t}{t}$ y $f(i+1,j)=4f(i,j)-f(i,j+1).$

Considere la familia de un parámetro $$\frac{(2n)!(6n)!}{n!(4n)!(3n)!}.$$ Visto de forma aislada parece difícil establecer la integralidad sin referirse a la fórmula de orden p. Sin embargo, como el caso m=3n de la familia $f(n,m)$ son los valores de una línea de celdas con pendiente 3.

Me he preguntado si alguna de las diversas familias "esporádicas" de un parámetro puede incrustarse de forma similar en una familia de 2 parámetros definida por una recurrencia. Evidentemente, toda la tabla no estaría dada por una fórmula exactamente de esa forma.

Answer 2

El método de orden p obtuvo mucha atención en la solución del problema 6514 de Askey de 1986 en el Math Monthly para demostrar que $$\frac{(3m + 3n)!(3n)!(2m)!(2n)!}{(2m + 3n) !(m + 2n) !(m + n)!m!n!n!}$$ es siempre un número entero.

Se había conjeturado que este es el término constante de $$\left( \prod{(1-u/v)} \right)^m \left( \prod{(1-uv/w)} \right)^n$$ donde cada producto es sobre las 6 maneras de poner las variables en x,y y z (y por lo tanto es un número entero). Esto se estableció en: Una prueba de la $G_2$ Caso del sistema de raíces de Macdonald - Conjetura de Dyson por Doron Zeilberger, SIAM J. Math. Anal. 18, 880 (1987), DOI:10.1137/0518065 . Así que esto no es ciertamente una prueba de orden p. Sin embargo, no sé si hay identidades de términos constantes para estos otros cocientes. El artículo cita (un caso especial de) un teorema de Morris que muestra que la siguiente expresión es un término constante y, por tanto, un número entero:
$$\frac{(a+b+2c)!(a+b+c)!(a+b)!(2c)!(3c)!}{(a+2c)!(b+2c)!(a+c)!(b+c)!a!b!c!c!}$$

Answer 3

Hice una pregunta similar en sci.math.research en diciembre de 2006.

He mencionado la solución de Gregg Patruno ( Amer. Math. Monthly 94 (1987), 1012-1014) al Problema 6514 de Dick Askey en el American Mathematical Monthly, que utiliza lo que llama el $p$ -y luego pregunté si había alguna manera de demostrar tales hechos expresando la fórmula de interés en términos de cantidades que son "obviamente" enteras (por ejemplo, los coeficientes binomiales). William Shanley señaló que si se pide un resultado más fuerte, es decir, un interpretación combinatoria de cualquier relación de factoriales, entonces esto es probablemente demasiado pedir. Mencionó el artículo de Gessel y Xin "Una interpretación combinatoria de los números $6(2n)!/n!(n+2)!$ " ( J. Secuencia de números enteros 8 (2005), artículo 05.2.3), que recurre a un ingenio considerable para dar una interpretación combinatoria natural en un caso concreto. Sin embargo, establecer la integralidad es más débil que encontrar una interpretación combinatoria natural.

Pero por lo que sé, su pregunta sigue abierta. En respuesta a mi artículo de sci.math.research, Valery Liskovets me envió un correo electrónico con dos referencias que daban resultados parciales. La primera es el artículo de David Callan "Certificados de integralidad para binomios lineales" ( Fibonacci Q. 38 (2000), 317-325) y el segundo es un artículo de Jam Germain del archivo NMBRTHRY (18 de octubre de 2003).

Answer 4

Aunque esto no es una respuesta a la pregunta, vale la pena señalar que la segunda y la tercera familia son esencialmente coeficientes binomiales.

Tenemos $$U_2(m,n):=\frac{(2m)!\,(2n)!}{m!\, n!\, (m+n)!} = (-1)^m 2^{2m+2n}\binom{n-\frac12}{m+n}$$ y $$U_3(m,n):=\frac{(2n)!\,m!}{n!\,(2m)!\,(n-m)!}=(-1)^{n-m}2^{2n-2m}\binom{-m-\frac12}{n-m}.$$ De ello se desprende que $U_2(m,n)$ es $(-1)^n$ veces el coeficiente de $x^{m+n}$ en $(1-4x)^{n-1/2}$ y $U_3(m,n)$ es el coeficiente de $x^{n-m}$ en $(1-4x)^{-m-1/2}$ . Por lo tanto, estos números son enteros ya que son coeficientes de potencias enteras (impar) de $(1-4x)^{-1/2}=\sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n} x^n$ . (Y en cierto sentido son realmente una sola familia.) También se deduce que hay una interpretación combinatoria simple para $U_3(m,n)$ ya que es un coeficiente de una potencia entera positiva de $(1-4x)^{-1/2}$ , pero no obtenemos una interpretación para $U_2(m,n)$ ya que hay una cancelación en la expansión de las potencias positivas de $(1-4x)^{1/2}$

Answer 5

Me gustaría ver una prueba combinatoria/teórica de grupos. Por ejemplo, si se pudiera demostrar un homomorfismo inyectivo de productos directos (o simplemente semidirectos) de grupos simétricos:

$\phi:S_{3n} \times S_{4n} \times S_{6n} \to S_{n}\times S_{12n},$

entonces el índice de Im( $\phi$ ) sería esa proporción. Esto es sólo una vaga pista.