¿Cómo modificar una representación de grupo para fijar la bola de la unidad?

Question

Supongamos que tengo un grupo finito $G$ y una representación $\rho:G\rightarrow \operatorname{GL}_n\left(\mathbb{R}\right)$ . Quiero para $\rho(G)$ al mapa $\mathcal{B}_n$ (la bola de la unidad en $\operatorname{R}^n$ ) en sí mismo. Por desgracia, al probarlo, veo que no lo hace. ¿Cómo puedo convertir $\rho$ en otra representación $\hat{\rho}:G\rightarrow \operatorname{GL}_n\left(\mathbb{R}\right)$ con la propiedad de que $\left| \hat{\rho}(v)\right|\leq 1$ siempre que $|v|\leq 1$ . (Aquí $|\cdot |$ se refiere a la norma $\mathcal{L}_2$ -normas sobre $\mathbb{R}^n$ .)

Ha sido sugerido que hago uso del producto interno $\langle x, y\rangle = \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\langle gx,gy\rangle$ . He intentado ortogonalizar la base estándar de $\mathbb{R}^n$ con respecto a este producto interno usando Grahm-Schmidt, entonces dejando que $\hat\rho(x) = M \rho(x) M^{-1}$ avec $M$ el cambio de matriz base producido por la ortogonalización. Sin embargo, he comprobado que $\hat\rho$ no tenía la propiedad deseada de fijar la bola de la unidad, y también que $|\langle \hat\rho(g) : g\in G\rangle| > |G|$ así que eso no funcionó en todos los sentidos. ¿Qué debo hacer en su lugar?

Answer 1

Dejemos que $B:=\{b_1,\ldots,b_n\}$ sea una base ortonormal para $\Bbb{R}^n$ con respecto al producto interior $$\langle x,y\rangle=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\langle gx,gy\rangle.$$ Claramente $\langle gb_i,gb_j\rangle=\langle b_i,b_j\rangle=\delta_{ij}$ para todos $i$ y $j$ por lo que la matriz que representa $\rho(g)$ con respecto a la base $B$ es ortogonal. Por lo tanto, este cambio de base mapea $\rho(G)$ en $O_n(\Bbb{R})$ . Es decir, para la matriz $M\in\operatorname{GL}_n(\Bbb{R})$ teniendo la $b_i$ como sus columnas tenemos $M\rho(g)\in O_n(\Bbb{R})$ para todos $g\in G$ . Por lo tanto, el establecimiento de $\hat{\rho}(g):=M\rho(g)$ para todos $g\in G$ da el resultado deseado.