Una explicación pedestre de los bloques conformados

Question

Me encantaría que alguien pudiera explicar qué son los bloques conformes y cómo se utilizan en la teoría de campos conformes (CFT). Por fin estoy entendiendo algo al leer Moore y Read's maravilloso papel. Pero creo/espero que en este sitio haya gente que pueda explicar las nociones implicadas de una manera más sencilla e intuitiva.

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Edición: He aquí un ejemplo sencillo, tomado de la página 8 de la referencia citada anteriormente...

En una CFT 2D tenemos funciones de correlación de campos $ \phi_i(z,\bar z) $ (donde $ z = x+\imath y$ ) en varios puntos del plano complejo. La función de correlación de n puntos puede expandirse como:

$$ \left \langle \prod_{a=1}^n \phi_{i_a}(z_a,\bar z_a) \right \rangle = \sum_p | F_{p\; i_{1} \dots i_n}(z_{1} \dots z_n)|^2 $$

Aquí $p$ etiqueta los miembros de una base de funciones $ F_{p\; i_1 \dots i_n}(z_{1} \dots z_n) $ que abarcan un espacio vectorial para cada n-tupla $(z_{1} \dots z_n)$

Estas funciones $F_p$ se conocen como bloques conformes, y parecen dar una descomposición de "fourier" de las funciones de correlación.

Esto es lo que he reunido hasta ahora. Si alguien pudiera ampliarlo con más ejemplos, sería estupendo.

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Edición: Está resultando muy difícil decidir cuál es la respuesta "correcta". Le daré unos días más. Quizás la situación cambie.

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La respuesta "correcta" es para (redoble de tambores): David Zavlasky. Bueno, todas son grandes respuestas. He elegido la de David por los cinco puntos extra porque es la más sencilla, en mi opinión. También menciona el "relación cruzada" que es un bloque de construcción de CFT.

Answer 1

Ahora que tenemos la perspectiva de un físico, no me parece mal esbozar los bloques conformes desde el punto de vista de un matemático. Es de suponer que hay un diccionario que conecta los dos mundos, pero no entiendo la física lo suficientemente bien como para decir frases coherentes al respecto. Pido disculpas de antemano por cualquier confusión - este no es un tema muy pedestre.

Abordaré los bloques conformes desde el punto de vista de las álgebras de vértice conformes, que suelen aparecer en matemáticas como estructuras algebraicas que se pueden utilizar para demostrar teoremas en la teoría de la representación. Las álgebras de vértice son espacios vectoriales $V$ equipado con una "multiplicación con singularidades" $V \otimes V \to V((z))$ que codifica un mejor esfuerzo de multiplicación de campos cuánticos (que a veces se denominan "distribuciones valoradas por operadores"). La multiplicación por la izquierda por un elemento $u$ da lugar a una serie de potencias formal $\sum_{n \in \mathbb{Z}} u_n z^{-n-1}$ cuyos coeficientes son operadores. Hacer que un álgebra de vértices sea conforme es elegir un vector distinguido $\omega$ cuyos operadores correspondientes generan una acción del álgebra de Virasoro, que es una extensión central del álgebra de Lie complejizada de los campos vectoriales polinómicos sobre el círculo. No se pierde mucho conceptualmente pensando en Virasoro como el espacio tangente del grupo $Diff(S^1)$ en la identidad, pero hay una anomalía de "carga central no nula" en juego que puede hacer necesaria la extensión central. El círculo aparece aquí porque es el límite de una puntura donde insertaremos un campo.

Mi comprensión de la interpretación física es la siguiente imagen incompleta y posiblemente incorrecta: Dentro de una teoría de campo conformacional 2D, hay un álgebra de simetrías quirales (digamos, de movimiento hacia la izquierda), y esta es precisamente la información capturada por el álgebra de vértices conformacional. El espacio de estados de la teoría se descompone en un conjunto de "sectores" que son módulos del álgebra de vértices. Si elegimos una superficie de Riemann (que es una esfera en la mayoría de los libros de texto), y adjuntamos estados de varios sectores a un conjunto de puntos distintos, deberíamos obtener un conjunto de amplitudes, que son valores de funciones de correlación quirales adjuntos a estos datos de entrada. He oído que hay alguna manera de pasar de las cosas quirales a la teoría de campo conforme propiamente dicha, donde la ambigüedad en los correladores desaparece y se obtienen funciones de correlación honestas, pero no lo he visto en la literatura matemática. En cualquier caso, los bloques conformes viven dentro de esta máquina: dados los sectores unidos a los puntos de una superficie de Riemann, un bloque conforme es un artilugio que se alimenta de las elecciones de los estados en esos sectores, y da como resultado los valores de las funciones de correlación de una manera consistente con las simetrías quirales.

He aquí un esbozo de la construcción matemática, debida a Edward Frenkel (y descrita con más detalle en su libro Álgebras de vértices y curvas algebraicas con David Ben-Zvi): Hay una "mitad positiva" del álgebra de Virasoro, abarcada por los generadores $-z^n\frac{d}{dz}$ para $n \geq 0$ y genera el álgebra de Lie de las derivaciones en el disco complejo infinitesimal, y también actúa sobre el álgebra de vértices conforme $V$ . Podemos utilizar esta acción para construir un haz vectorial $\mathscr{V}$ con conexión plana en nuestra superficie de Riemann elegida por el método de "geometría formal" de Gelfand-Kazhdan (que no describiré). Dadas las puntuaciones $p_1, \dots, p_n$ se construye, a partir del complejo de De Rham de $\mathscr{V}$ , un álgebra de Lie $L$ que actúa naturalmente sobre $n$ -tuplas de $V$ -módulos. Dado $V$ -módulos $M_i$ adjunta en los puntos $p_i$ un bloque conformado es un $L$ -mapa de módulos de $\bigotimes M_i$ al módulo trivial.

En general, es bastante difícil hacer cálculos explícitos con bloques conformes, debido a la cantidad de geometría implicada. Si tu superficie de Riemann tiene asas, tendrás que lidiar con una elección de estructura compleja, y si tiene muchos pinchazos, tendrás que lidiar con un complicado espacio de configuración de puntos. Normalmente se ven diagramas de nivel de árbol con 4 entradas, porque:

1. Ahí es donde aparece el mínimo de geometría: como el grupo de automorfismo de la recta proyectiva compleja es triplemente transitivo, el espacio de configuración de cuatro puntos es una recta tres veces perforada (me refiero a una esfera).
2. Dependiendo del nivel de detalle que se busque, a menudo es todo lo que se necesita: los espacios de los bloques se pueden ensamblar pegando superficies fuera de los pantalones y tomando sumas sobre los sectores donde se produce la costura. En la imagen compleja algebro-geométrica, esta costura significa pegar esferas transversalmente en puntos para obtener una curva nodal. Luego se deforma para obtener una curva compleja suave, y se hace un transporte paralelo a lo largo del camino correspondiente en el espacio de moduli de las curvas marcadas. La configuración de cuatro puntos es una situación en la que se tiene exactamente una operación de cosido (y la otra situación de este tipo es un toro perforado, que es importante para obtener caracteres).

De hecho, cuando la teoría del campo conformacional se comporta adecuadamente (léase: es racional), se obtienen las dimensiones de los espacios de todos los bloques conformacionales a partir de las dimensiones de los bloques de género cero de tres puntos, también conocidas como constantes de estructura del álgebra de fusión. Esto se ve en la fórmula de Verlinde, por ejemplo.

Creo que los ejemplos de bloques conformes tienen una cierta complejidad necesaria, pero he aquí un resumen de un caso razonablemente sencillo que está motivado por el modelo WZW. Elige un grupo de Lie simple, como $SU(2)$ y un nivel $\ell$ (que podemos ver como un número entero positivo). Se construye el álgebra de vértices y sus módulos como nivel $\ell$ representaciones integrables del álgebra de Lie afín de Kac-Moody $\hat{\mathfrak{sl}_2}$ que es una extensión central del álgebra de bucles de la complejización del álgebra de Lie $\mathfrak{su}_2$ . Si elegimos una superficie de Riemann (como una esfera), y decoramos los puntos sólo con el módulo de vacío, obtenemos un espacio de bloques conformes que es el espacio de secciones globales de un determinado haz de líneas $L_G^{\otimes \ell}$ en el espacio de moduli de $SU(2)$ paquetes en la superficie. Aquí $L_G$ es el generador amplio del grupo de Picard del espacio de moduli.

Answer 2

He leído un poco sobre el tema y resulta que los bloques conformados son bastante relevantes para mi investigación. Así que pensé que merecía la pena investigar con más detalle. Nunca he estudiado formalmente la teoría de campos conformacionales, pero espero no estar escribiendo algo totalmente equivocado. (He perdido mi primer borrador y he tenido que reconstruirlo, por eso he tardado tanto)

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En la teoría de campos conformes, es común representar las coordenadas en un espacio bidimensional utilizando números complejos, por lo que $\vec{r} = (x,y)$ se convierte en $\rho = x + iy$ . En esta notación, la teoría es invariante bajo la acción de un Transformación de Möbius (también conocida como transformación conforme),

$$\rho \to \frac{a\rho + b}{c\rho + d}$$

en el que $a$ , $b$ , $c$ y $d$ son constantes complejas que satisfacen $ad - bc \neq 0$ . La transformación tiene tres grados de libertad complejos - en otras palabras, si se especifican tres puntos iniciales y tres puntos finales en el plano complejo, hay una única transformación de Möbius que mapea esos tres puntos iniciales a los tres puntos finales.

Por tanto, cualquier función de cuatro coordenadas en el plano, por ejemplo una función de correlación de cuatro puntos de los campos cuánticos,

$$G_4 = \langle \phi_1(\rho_1,\rho_1^*) \phi_2(\rho_2,\rho_2^*) \phi_3(\rho_3,\rho_3^*) \phi_4(\rho_4,\rho_4^*) \rangle$$

tiene sólo un grado de libertad real, después de que se factoricen las libertades gauge correspondientes a la transformación de Möbius. En otras palabras, puedes mapear tres de esas coordenadas en tres puntos de referencia fijos (por ejemplo $0$ , $1$ y $\infty$ ), y te queda una función de una sola variable, algo así como

$$x = \frac{(\rho_4 - \rho_2)(\rho_3 - \rho_1)}{(\rho_4 - \rho_1)(\rho_3 - \rho_2)}$$

Esto abre la puerta a escribir $G_4$ como una función simple de esta única relación (al menos, más simple que una función de cuatro coordenadas independientes).

La parte particular de la CFT en la que se aplican los bloques conformacionales (por lo que sé; estoy empezando a salirme un poco de mis casillas) tiene que ver con las álgebras de Virasoro. En concreto, la forma en que los campos individuales $\phi_i$ bajo una transformación conforme es descrita por el grupo definido por el álgebra de Virasoro. La función de cuatro puntos $G_4$ puede escribirse como una suma de contribuciones de diferentes representaciones del grupo,

$$G_4(\rho_1,\rho_2,\rho_3,\rho_4) = \sum_l G_l f(D_l, d_i, C, x) f(D_l, d_i, C, x^*)$$

Aquí $l$ indexa las diferentes representaciones; $C$ es una constante (la "carga central" del álgebra de Virasoro); y $d_i$ y $D_l$ son las dimensiones anómalas de los campos externos y del campo interno respectivamente. La función $f$ se llama bloque conformado.

$f$ es útil porque se puede calcular (en principio o en la práctica, no estoy seguro de cuál) utilizando sólo información sobre una única representación del grupo de Virasoro. Se puede expresar como una serie en $x$ de una forma conocida, cuyos coeficientes dependen de la estructura del grupo.

Más información

1. Belavin A. Simetría conforme infinita en la teoría cuántica de campos bidimensional. Física nuclear B . 1984;241(2):333-380. Disponible en: http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(84)90052-X .
2. Zamolodchikov AB. Simetría conforme en dos dimensiones: una fórmula de recurrencia explícita para la amplitud de onda parcial conforme. Comunicaciones en física matemática (1965-1997) . 1984;96(3):419-422. Disponible en: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103941860 .
3. Zamolodchikov AB. Simetría conforme en el espacio bidimensional: Representación de recursión del bloque conforme . Física teórica y matemática . 1987;73(1):1088-1093. Disponible en: http://www.springerlink.com/content/khq7730604681676/ .

y por supuesto el libro de DiFrancesco et al.

Answer 3

Ya existen buenas respuestas, tanto desde el punto de vista físico como matemático, que explican la idea básica: dada el álgebra de operadores holomorfos (o, equivalentemente, el álgebra de simetría) de una CFT, podemos escribir una colección de ecuaciones (las identidades de Ward) que la función de partición de la teoría debe satisfacer en cualquier superficie de Riemann. El espacio de soluciones de estas ecuaciones es el espacio de bloques conformes. Si efectivamente tenemos una CFT completa, entonces la función de partición será un bloque conforme particular. Pero dado cualquier bloque conforme podemos seguir dando sentido a las funciones de correlación en la superficie de Riemann, por lo que podemos realizar gran parte de la teoría de campo.

Hay una buena cantidad de trabajo matemático sobre la extensión de un álgebra quiral a un CFT completo, especialmente en el caso racional (como Scott señaló que este es un enfoque central de la obra extendida de Fuchs, Schweigert, Runkel y colaboradores). Esto implica encontrar combinaciones modulares invariantes de módulos para el álgebra quiral, y puede reducirse a encontrar módulos especiales (objetos del álgebra de Frobenius en la categoría tensorial trenzada de módulos con algunas condiciones). En el caso irracional esta teoría está realmente en su infancia -- hay una noción de lo que deberían ser las branas, pero no hay una teoría de estructura completa..

Creo que un punto de vista muy esclarecedor sobre los bloques conformes se deriva de la idea de que una CFT quiral se parece más a una teoría cuántica de campos tridimensional [topológica] que a una CFT honesta (y esto puede precisarse en el caso racional, véase, por ejemplo, el libro de Bakalov-Kirillov). Desde este punto de vista, tenemos una QFT 3d que tiene sentido sobre fondos curvos (de hecho topológicamente invariante), de manera que podemos asignar un espacio de Hilbert de estados a partir de la cuantización de la teoría sobre una superficie de Riemann veces R. Este espacio de estados es el espacio de bloques conformes. De forma más general, podemos considerar operadores lineales en esta teoría tridimensional, lo que significa que podemos insertar operadores en puntos de la superficie de Riemann por R. Estos operadores corresponden a módulos para el álgebra quiral, y el espacio de Hilbert resultante es el espacio de bloques conformes con inserciones de módulos. Si tenemos una CFT no racional no obtenemos una QFT topológica completa en 3d, pero aún podemos asignar espacios de Hilbert a las superficies de Riemann o a las superficies con inserciones de módulos, por lo tanto bloques conformes. (En una teoría completa, estos espacios vectoriales se verían obligados a ser de dimensión finita por la buena definición de la traza del hamiltoniano, que es cero en una teoría topológica).

Answer 4

Una teoría de campos conforme es una teoría cuántica de campos que es invariante bajo transformaciones conformes. Debido a esta invariancia, las funciones de correlación deben obedecer a ecuaciones lineales llamadas identidades conformes de Ward. Los bloques conformes no son sólo soluciones de las identidades conformes de Ward, sino que en realidad elementos de una base determinada de soluciones. Centrémonos en la CFT bidimensional. En dos dimensiones las transformaciones conformacionales se describen mediante dos álgebras de Virasoro, llamadas de movimiento a la izquierda (u holomórfica) y de movimiento a la derecha (o antiholomórfica).

La pregunta se formuló en términos de $n$ -en el plano complejo, pero es técnicamente más sencillo considerar primero bloques conformes de punto cero en el toro . Son sólo caracteres de representaciones del álgebra de Virasoro. De hecho, supongamos que queremos calcular una función de punto cero del toro (función de partición), $$ Z = \mathrm{Tr}_S q^{E} \bar{q}^{\bar{E}} $$ donde $q$ es el módulo (exponencial) del toro, $E$ y $\bar{E}$ son los operadores de energía asociados, respectivamente, a las álgebras de Virasoro que se mueven a la izquierda y a la derecha, y $S$ es el espacio de estados de su CFT. El espacio de estados se puede descomponer en representaciones de las álgebras de Virasoro, $$ S = \bigoplus_{R, \bar{R}} m_{R,\bar{R}} R\otimes \bar{R} $$ donde $R, \bar{R}$ son representaciones de nuestras dos álgebras de Virasoro, y los enteros $m_{R,\bar{R}}$ son sus multiplicidades. Entonces, el cálculo de la traza sobre $S$ se reduce a la suma de los estados en cada representación $R$ o $\bar{R}$ y dicha suma es, por definición, un carácter $$ \chi_R(q) = \mathrm{Tr}_R q^{E} = \sum_L q^{E(L)} $$ donde $L$ etiqueta una base ortonormal de $R$ , formado por los vectores propios de $E$ . Así obtenemos $$ Z = \sum_{R,\bar{R}} m_{R,\bar{R}} \chi_R(q) \chi_{\bar{R}}(\bar{q}) $$ Esta es la descomposición en bloque conforme de $Z$ Los bloques conformes: los bloques conformes $\chi_R(q)$ , $\chi_{\bar{R}}(\bar{q})$ son localmente holomorfo funciones de $q$ y $\bar{q}$ son completamente determinado por la simetría conformacional y son parametrizado por representaciones del álgebra de simetría. Por otro lado, las multiplicidades $m_{R,\bar{R}}$ quedan indeterminados por la simetría.

Las mismas ideas se aplican al función de cuatro puntos de la esfera . Una función de cuatro puntos puede descomponerse en productos de funciones de tres puntos insertando un operador de identidad, y obtenemos esquemáticamente $$ \left< \prod_{i=1}^4 V_i(z_i,\bar{z}_i) \right> = \sum_{R,\bar{R}} m_{R,\bar{R}} \sum_{L,\bar{L}} \left< V_1V_2 \middle| (R,L),(\bar{R},\bar{L}) \right> \left< (R,L),(\bar{R},\bar{L}) \middle| V_3V_4\right> $$ Ahora resulta que una función de tres puntos $\left< V_1 V_2 \middle| (R,L),(\bar{R},\bar{L}) \right>$ está determinada por la simetría conformacional hasta un factor $C_{1,2,(R,\bar{R})}$ que no depende de $z_i,\bar{z}_i$ ni en $L,\bar{L}$ y tenemos $$ \left< \prod_{i=1}^4 V_i(z_i,\bar{z}_i) \right> = \sum_{R,\bar{R}} m_{R,\bar{R}} C_{1,2,(R,\bar{R})} C_{(R, \bar{R}), 3,4} F_R(z_i) F_{\bar{R}}(\bar{z}_i) $$ El bloque conformado de cuatro puntos $F_R(z_i)= \sum_L \cdots$ está completamente determinada por la simetría conformacional. Depende de todos los parámetros que se mueven a la izquierda: las posiciones $z_i$ El $s$ -representación del canal $R$ y las representaciones que se mueven a la izquierda y que corresponden a los campos $V_i$ . Hasta factores triviales, un bloque conformado de cuatro puntos es en realidad una función del relación cruzada $z=\frac{(z_1-z_2)(z_3-z_4)}{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}$ Esto es una simple consecuencia de las identidades de Ward, que se mantiene tanto si se tiene simetría conforme local como global. Un bloque conforme generalmente no obedece a ninguna ecuación diferencial en $z$ . Obedece a una ecuación de Belavin-Polyakov-Zamolodchikov sólo si al menos uno de los campos $V_i$ es un campo llamado degenerado.

Los bloques conformados son útiles porque son cantidades universales en el sentido de que están determinados por la simetría conformacional. Para determinar las funciones de correlación en un modelo específico, todo lo que queda por hacer es calcular las cantidades dependientes del modelo, como las multiplicidades $m_{R,\bar{R}}$ y los factores $C_{1,2,(R,\bar{R})}$ . Estas cantidades dependientes del modelo son más sencillas que las funciones de correlación: en particular, suelen depender de menos parámetros.

Para más detalles en este sentido, véase mi artículo de revisión .

Answer 5

La teoría de campos conformes es la teoría de la invariancia de escala (o comportamiento de gran orden) en dos dimensiones. Escala significa dependencia de los ángulos solamente. En 2d, el grupo de transformaciones (conformacionales) que preservan los ángulos es de dimensión infinita, y de hecho sólo hay un número finito de grados de libertad en una métrica 2d después de las transformaciones conformacionales y los difeomorfismos. (Los grados de libertad son el espacio de moduli de las superficies de Riemann).

Los campos en una teoría con simetría conforme deben dar representaciones de esta álgebra de simetría, y tales representaciones se etiquetan con un número cuántico llamado dimensión o peso conforme. Las propias transformaciones son cambios holomórficos de coordenadas ( $z \rightarrow f(z)$ y están generadas por el álgebra de Lie de los campos vectoriales holomorfos $L_n := -z^{n+1}\partial_z$ y sus conjugados complejos. Puedes calcular esta álgebra: $[L_n,L_m] = (n-m)L_{m+n}$ que se llama el álgebra de Virasoro. (Hay dos de ellas, una con z y otra con z-bar.) Mecánicamente cuántica, esta álgebra puede ser corregida por el anomalía conformacional parametrizado por el carga central ("central" porque el término extra conmuta con todos los demás).

Ahora bien, al igual que en una teoría invariante de la rotación, si quieres saber cómo queda una solución después de una rotación sólo necesitas saber en qué representación se encuentra el estado, en una teoría conforme si quieres cambiar las coordenadas infinitesimalmente sólo necesitas conocer los pesos conformes de los campos. Pero tales transformaciones son cambios de coordenadas infinitesimales, así que esto da una ecuación diferencial que el correlador debe obedecer. Todo en la teoría se puede escribir en términos de soluciones a estas ecuaciones diferenciales -- se llaman bloques conformados . (Hay soluciones en $\bar{z}$ )

Este método se detalla en la obra clásica de Belavin, Polyakov y Zamolodchikov (NPB 241 (1988) p. 333) (otro pionero es Knizhnik).

p.d. La teoría de cuerdas trata de las teorías de campo 2d y su dependencia de los módulos de las superficies de Riemann. La condición de que la teoría conforme esté libre de anomalías es la forma más común de derivar fórmulas de dimensión en la teoría de cuerdas.