¿Cuáles son otros ejemplos similares a completar el cuadrado en los que se suma un valor derivado y se vuelve a quitar para crear una forma útil?

Question

Después de 18 meses de estudio de un curso avanzado de matemáticas de secundaria, estoy haciendo un repaso de los 6 meses anteriores, empezando por la resolución de cuadráticas difíciles que no son fáciles de factorizar, por ejemplo: $$x^2+6x+2=0$$ Esto se podría procesar a través de la ecuación cuadrática, pero el curso en el que estoy trabajando me pide que utilice el método de completar el cuadrado. Puedo hacerlo, y agradezco la ilustración geométrica de lo que ocurre.

Pero es tan potente y elegante que no puedo evitar preguntarme en qué otro lugar de las matemáticas se emplea este método de añadir algo en una expresión para quitarlo en otra. ¿Y existe un nombre para el caso general de este tipo de operación?

Answer 1

Con los tensores/matrices, a menudo hacemos esto para proporcionar varias identidades. Por ejemplo, toda matriz es la suma de una matriz simétrica $A_{ij} = A_{ji}$ y una matriz sesgada-simétrica $A_{ij} = -A_{ji}.$ La prueba más fácil es, $$ \begin{align} A_{ij} &= \frac12 A_{ij} + \frac12 A_{ij}\\ &= \left(\frac12 A_{ij} + \frac12 A_{ji}\right) + \left(\frac12 A_{ij} - \frac12 A_{ji}\right) \end{align} $$ Y el primer término es manifiestamente simétrico mientras que el segundo es manifiestamente antisimétrico.

La regla del producto del cálculo se utiliza a veces de esta manera, dice que $${\mathrm d\phantom t\over\mathrm dt}\big(u(t)~v(t)\big) = u~{\mathrm d v\over\mathrm dt} + v~{\mathrm d u\over\mathrm dt}$$ y el problema es que normalmente se tiene algo de la forma $u~\mathrm dv/\mathrm dt$ que por sí solo no es lo suficientemente fuerte como para utilizarlo, por lo que se añade el otro término. Así, por ejemplo $$ \begin{align} x~\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2} &= x~\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2} + \left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right)^2 - \left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right)^2\\ &= \frac{\mathrm d\phantom t}{\mathrm dt}\left( x~\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} \right) - \left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right)^2 \\ &= \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2}\left(\frac12 x^2 \right) - \left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right)^2 \end{align}$$ El último paso es esencialmente el mismo proceso aplicado de nuevo, es decir, se puede observar que $x~\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(x^2) - \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}~x$ y luego juntar los términos similares en el lado izquierdo y dividir por 2.

Si esto te recuerda a algo es probablemente a la integración por partes, que es este mismo procedimiento bajo un signo integral. Muchas veces la gente no se da cuenta de que el signo de la integral es algo formalmente innecesario e insistirá en hacer la manipulación anterior formando primero la integral definida, luego manipulándola con integración por partes, y finalmente diferenciándola. Pero sí, ahí se ve: $$ \begin{align} \int u~\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\mathrm dt &= \int \left(u~\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt} + v\frac{\mathrm du}{\mathrm dt}\right)\mathrm dt - \int v~\frac{\mathrm du}{\mathrm dt}~\mathrm dt\\ &= u~v- \int v~\frac{\mathrm du}{\mathrm dt}~\mathrm dt \end{align} $$ aunque, al igual que con la fórmula cuadrática, mucha gente se limita a memorizar el resultado.