¿Cuáles son otros ejemplos similares a completar el cuadrado en los que se suma un valor derivado y se vuelve a quitar para crear una forma útil?

Question

Después de 18 meses de estudio de un curso avanzado de matemáticas de secundaria, estoy haciendo un repaso de los 6 meses anteriores, empezando por la resolución de cuadráticas difíciles que no son fáciles de factorizar, por ejemplo: $$x^2+6x+2=0$$ Esto se podría procesar a través de la ecuación cuadrática, pero el curso en el que estoy trabajando me pide que utilice el método de completar el cuadrado. Puedo hacerlo, y agradezco la ilustración geométrica de lo que ocurre.

Pero es tan potente y elegante que no puedo evitar preguntarme en qué otro lugar de las matemáticas se emplea este método de añadir algo en una expresión para quitarlo en otra. ¿Y existe un nombre para el caso general de este tipo de operación?

Answer 1

El método de inserción $0$ de forma inteligente sumando y restando un término se utiliza muchas veces en el análisis. Hace tiempo que aprendí a llamar a este uso inteligente de $0$ un "cero propicio" y a otros también les han enseñado ese término: mira aquí y aquí .

Aplicaré esta idea a los productos, a los recíprocos y a los términos de una secuencia reescrita como serie.

Ejemplo 1. Demostremos la continuidad de la multiplicación de números reales. Si $x$ está cerca $a$ y $y$ está cerca $b$ entonces queremos mostrar $xy$ está cerca $ab$ . Una forma estándar de hacerlo es escribir $$ xy - ab = (xy - ay) + (ay - ab) = (x-a)y + a(y-b) $$ y luego $$ (x-a)y = (x-a)(y-b+b) = (x-a)(y-b) + (x-a)b, $$ así que $$ xy - ab = (x-a)(y-b) + (x-a)b + a(y-b). $$ En el lado derecho $x$ y $y$ sólo aparecen en el contexto de $x-a$ y $y-b$ Así que al elegir $x$ y $y$ para que $|x-a|$ y $|y-b|$ son suficientemente pequeños, podemos hacer que el lado derecho se acerque arbitrariamente a $0$ . Por lo tanto, la multiplicación como un mapeo $\mathbf R^2 \to \mathbf R$ es continua en cada punto $(a,b)$ en $\mathbf R^2$ .

Un argumento similar muestra otras operaciones de multiplicación (en $\mathbf C$ , en ${\rm M}_n(\mathbf R)$ etc.) son continuos.

ACTUALIZACIÓN: la respuesta de CR Drost me recuerda que un cero propicio se produce en el prueba de la regla del producto del cálculo para la derivada $(u(t)v(t))'$ de la misma manera que en la última identidad anterior para $xy - ab$ . En esa identidad, sustituye $a$ y $b$ avec $u(t)$ y $v(t)$ y reemplazar $x$ y $y$ avec $u(t+h)$ y $v(t+h)$ . Nos dice que $u(t+h)v(t+h) - u(t)v(t)$ es igual a $$ (u(t+h) - u(t))(v(t+h)-v(t)) + (u(t+h) - u(t))v(t) + u(t)(v(t+h)-v(t)). $$ Dividir por $h$ y que $h \to 0$ para entrar en el límite $$ u'(t)0 + u'(t)v(t) + u(t)v'(t) = u'(t)v(t) + u(t)v'(t). $$

Ejemplo 2. Demostremos la continuidad de la inversión en los números reales no nulos. Si $a \not= 0$ y $x$ está lo suficientemente cerca de $a$ queremos mostrar $1/x$ está cerca de $1/a$ . Para empezar, supongamos que $|x-a| < |a|$ Así que $x$ está dentro del intervalo abierto alrededor de $a$ de radio $a$ y por lo tanto $x \not= 0$ . Tenemos $$ \left|\frac{1}{x} - \frac{1}{a}\right| = \frac{|x-a|}{|x||a|}. $$ En el lado derecho, en el numerador $x$ sólo aparece en el contexto de $x-a$ Lo cual es genial. Para el denominador, queremos obtener un límite inferior (positivo) de $|x|$ en términos de $|x-a|$ para obtener un límite superior en $1/|x|$ . Es el momento de un cero propicio: $$ |a| = |a-x+x| \leq |a-x| + |x| \Longrightarrow |x| \geq |a| - |a-x| = |a| - |x-a|. $$ Mientras $|x-a| < |a|$ ese límite inferior es positivo, por lo que $$ |x-a| < |a| \Longrightarrow \left|\frac{1}{x} - \frac{1}{a}\right| = \frac{|x-a|}{|x||a|} \leq \frac{|x-a|}{(|a| - |x-a|)|a|}. $$ El lado derecho va a $0$ como $|x-a| \to 0$ (con $a$ fijo). Concretamente, afinar $|x-a|< |a|$ a $|x-a| \leq |a|/2$ y obtenemos $|a| - |x-a| \geq |a| - |a|/2 = |a|/2$ Así que $$ \left|\frac{1}{x} - \frac{1}{a}\right| \leq \frac{|x-a|}{|a|^2/2} = \frac{2}{|a|^2}|x-a|. $$

Un argumento similar demuestra que la inversión es continua en $\mathbf C^\times$ y ${\rm GL}_n(\mathbf R)$ aunque hay que tener un poco más de cuidado para el caso de la matriz (cuando $n > 1$ ) ya que la multiplicación de matrices no es conmutativa.

Ejemplo 3: Si $\{a_n\}$ es una secuencia de números donde $|a_n - a_{n+1}| \leq 1/2^n$ podemos escribir cada $a_m$ como una suma telescópica de las diferencias $a_n - a_{n+1}$ para $n \geq m$ lo que equivale a utilizar un número infinito de ceros propicios: $$ a_m = (a_m - a_{m+1}) + (a_{m+1} - a_{m+2}) + (a_{m+2} - a_{m+3}) + \cdots = \sum_{k \geq m} (a_k - a_{k+1}). $$ Esto por sí mismo no parece muy interesante, pero utilizando esta idea con funciones en lugar de números es como se demuestra en la teoría de la medida que un $L^1$ -Una secuencia de funciones convergente tiene una subsecuencia que es convergente puntualmente en casi todas partes. El argumento para ello está escrito en la respuesta aceptada aquí .

Answer 2

Puede que esto no sea un ejemplo de lo que el PO quiere, pero hay una versión de completar el cuadrado de adentro hacia afuera. Dada la expresión

$a^4+4b^4,$

reconocemos que añadir el término medio $4a^2b^2$ forma un cuadrado y, al mismo tiempo, el propio término medio es un cuadrado. Así,

$a^4+4b^4=(a^4+4a^2b^2+4b^4)-4a^2b^2$

$=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2$

$=(a^2+2ab+2b^2)(a^2-2ab+2b^2).$

Answer 3

Utilizamos un truco similar en la enseñanza del primer semestre de cálculo. Para obtener la conocida regla del producto de las derivadas, tenemos que tratar la expresión

$$\frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$$

Esto es un inconveniente, ya que los dos términos del numerador no tienen nada en común que nos permita hacer cualquier factorización. Así, sumamos y restamos un término que comparte algo con cada uno:

$$=\frac{f(x+h)g(x+h) - f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x) - f(x)g(x)}{h}$$

Ahora los dos primeros términos del numerador tienen un factor común, y los dos segundos términos tienen un factor común. Así, podemos completar la derivación necesaria.

Answer 4

Un ejemplo es multiplicar una expresión por algún término y volver a dividirla, como:

$$\begin{align} \frac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n} &= \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{(\sqrt{n+1}+\sqrt n)(\sqrt{n+1}-\sqrt n)} \\ &= \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{n+1 - n} \\ &= \sqrt{n+1}-\sqrt n\\ \end{align}$$

Esto también implica una fórmula binómica, a saber $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ . Esto es útil cuando se calculan sumas que pueden convertirse en sumas telescópicas:

$$\begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{k+1}+\sqrt k} &= \frac1{\sqrt2 + 1}+\frac1{\sqrt3 + \sqrt 2}+\frac1{\sqrt4 + \sqrt 3}+\cdots\\ &= \sum_{k=1}^n (\sqrt{k+1}-\sqrt k) \\ &= \sqrt{n+1}-1 \end{align}$$

Answer 5

Evaluación de relaciones de recurrencia mediante funciones generadoras.

Para evaluar $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ ( $F_0 = 0, F_1 = 1$ ), podemos construir la función generadora $F(x) = \sum_{n=0}^\infty F_n x^n$ . Tenga en cuenta que el $x^n$ términos han sido añadido y serán se lo han llevado en el último paso del proceso.

$$F(x) = \sum_{n=0}^\infty \color{green}{F_n} x^n = F_0 + F_1 x + \sum_{n = 2}^\infty F_n x^n$$ $$xF(x) = \sum_{n = 1}^\infty F_{n-1}x^n = F_0x + \sum_{n=2}^\infty F_{n-1}x^n$$ $$x^2F(x) = \sum_{n=2}^\infty F_{n-2}x^n$$

Por lo tanto,

$$F(x) - xF(x) - x^2F(x) = F_0 + F_1 x - F_0x + \sum_{n = 2}^\infty (F_n - F_{n-1} - F_{n-2}) x^n$$

De la recurrencia se deduce que $F_n - F_{n-1} - F_{n-2} = 0$ . Por lo tanto, sustituyendo los valores, obtenemos

\begin{align} F(x) - xF(x) - x^2F(x) &= x\\ F(x) &=\frac{x}{1-x-x^2}\\ &= \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1}{1-\varphi x} - \frac{1}{1 - \psi x}\right), \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\\ &= \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\sum_{n=0}^\infty (\varphi x)^n - \sum_{n=0}^\infty (\psi x)^n\right)\\ &= \sum_{n=0}^\infty \color{green}{\frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}}x^n \end{align}

Ahora, todo lo que tenemos que hacer es quitar el $x^n$ términos que pusimos anteriormente. Y obtenemos el Secuencia de Fibonacci

$$\boxed{F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}}$$