Me han resuelto muchos de los problemas respecto a la continuidad uniforme, pero todavía no puedo entender lo siguiente:
¿Hay alguna aplicación práctica de este concepto, o es sólo un concepto teórico? ¿Hay alguna aplicación amplia de este concepto en cualquier teorema o problema? En definitiva, ¿cómo surgió el concepto de continuidad uniforme surgir?
Una Parábola (que no hace reclamos de exactitud histórica): Supongamos que el universo matemático contiene sólo los números racionales. Estudio racional de las funciones con valores de los números racionales, y descubrir el $\varepsilon$-$\delta$ definición de continuidad.
Luego se descubre que los números reales, y el hecho de que los racionales son densos en los reales. Es natural preguntar: Si $f$ es una función continua (en los racionales), $f$ extender a una función continua en los reales? Quizás sorprendentemente, "no". Por ejemplo, $f(x) = 1/(x^{2} - 2)$ es continua (!), racional de los valores de la función en el conjunto de los números racionales que se ve fácilmente que no se extienden a una función continua en los reales.
Hay muchas maneras de interpretar "lo que salió mal" en este ejemplo, pero la explicación de la porción de la parábola anterior se reduce a la siguiente:
Pregunta 1: Supongamos que $f$ es continua (racional - o valor real) de la función de algunas de dominio $D$, y supongamos que $(x_{k})$ es una secuencia de Cauchy en $D$. Es la imagen de la secuencia de $\bigl(f(x_{k})\bigr)$ Cauchy?
Si usted no sabe la respuesta, que vale la pena hacer un esfuerzo serio en una prueba antes de seguir leyendo. Hay una evidente estrategia: Revisión $\varepsilon > 0$ arbitrariamente. Dado que $f$ es continua, se puede hacer $|f(y) - f(x)| < \varepsilon$ tomar $$ y lo suficientemente cerca de $x$. Y una sucesión es de Cauchy si "sus términos pueden hacerse tan cerca como nos gusta". Todo parece funcionar a primera vista....
El problema es que la respuesta es "no". Un ejemplo fácil es tomar $f(x) = 1/x$ en el conjunto de los números positivos, y a tomar $x_{k} = 1/k$. O, si $f(x) = 1/(x^{2} - 2)$, utilice el recurrente racional de la secuencia de $x_{1} = 2$, $x_{k+1} = \frac{1}{2}(x_{k} + \frac{2}{x_{k}})$.
El intento de la prueba anterior es una lección de advertencia acerca de por qué los matemáticos vuelto tan pedante cuando la enseñanza de análisis: Es necesario para la formulación y el uso de definiciones precisas para evitar ir lógicamente mal. En el intento de responder a la Pregunta 1, a prueba de golpes con un inconveniente debido a una secuencia de Cauchy en $D$ necesidad no convergen a un punto de $\ell$ de $D$, por lo que no podemos escoger un $\delta > 0$ tales que, si $|x - \ell| < \delta$, entonces $|f(x) - f(\ell)| < \varepsilon$. Y luego, después de un cuidadoso examen, descubrimos un segundo, fatal pega: Si $\delta_{k} > 0$ satisface la definición de continuidad en $x_{k}$ (es decir, si $|y - x_{k}| < \delta_{k}$ implica $|f(y) - f(x_{k})| < \varepsilon$), nada garantiza que la secuencia de $(\delta_{k})$ tiene un resultado positivo de límite inferior.
Bien, ¿y si se requieren más de $f$, no sólo la continuidad, sino una condición que por cada $\varepsilon > 0$, no existe una sola $\delta > 0$, que "funciona todo $D$" en el sentido de que si $x$ y $y$ son los puntos de $D$ que $|x - y| < \delta$, entonces $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$.
Ah: sólo Hemos descubierto uniforme de continuidad en el conjunto $D$.
Teorema: Si $f$ es uniformemente continua en $, D$, y si $(x_{k})$ es una secuencia de Cauchy en $, D$, entonces $\bigl(f(x_{k})\bigr)$ es una secuencia de Cauchy.
Prueba: Ver arriba, excepto que ahora no hay inconvenientes.
Todo correcto, un (a nivel local) uniformemente continua en función de los mapas de Cauchy secuencia de Cauchy secuencias; entonces, ¿qué?
Bien, ahora podemos tener algo de matemáticas de la diversión. En primer lugar, las definiciones de arriba llegan sin esfuerzo a cualquier espacio métrico $(X, d)$, y las pruebas que ir a través con las modificaciones evidentes (es decir, escribir "$d(x, y)$" en lugar de "$|x - y|$").
Cada espacio métrico $(X, d)$ incrusta isométricamente en un completo espacio $(\overline{X}, d)$. Un proyecto de construcción de $\overline{X}$ es el uso de clases de equivalencia de secuencias de Cauchy en $X$. Un poco de analítica de yoga muestra que si $f:X \a Y$ es uniformemente continua en la asignación de un espacio métrico completo $(Y, d')$, no existe una única (uniformemente) asignación continua $\overline{f}:\overline{X} \a de$ Y que se extiende de $f$.
Aquí hay dos "interesante" aplicaciones:
Si $D$ es un conjunto acotado de números reales y $f$ es una función con valores de $D$, entonces $f$ es uniformemente continua en $D$ (si y sólo si $f$ se extiende de forma continua para el cierre de $D$. Esto le da una esencia visual criterio para la detección de uniforme de continuidad (en el mismo sentido que la continuidad es detectable por "el gráfico no tener descansos", o la diferenciabilidad es detectable por "el gráfico tener una línea tangente en cada punto"). Por ejemplo, si $D$ denota el conjunto de no-cero de los números reales, las funciones $$ f(x) = \sin\frac{1}{x},\qquad g(x) = \frac{x}{|x|} $$ son continuas en $, D$, pero al echar un vistazo a sus gráficos) no uniformemente continua.
El espacio $X$ de continuo, con un valor real de las funciones en $[0, 1]$ es un espacio vectorial con la función de distancia $$ d(f, g) = \int_{0}^{1} |f(t) - g(t)|\, dt. $$ La integración operador $I(f) = \int_{0}^{1} f(t)\, dt$ es (más o menos obviamente) uniformemente continua en $(X, d)$. Ahora, $(X, d)$ no es completa, pero si $(f_{k})$ es una secuencia de Cauchy en $(X, d)$, entonces $\bigl(I(f_{k})\bigr)$ es una secuencia de Cauchy de números reales, y por lo tanto converge. Esto nos permite extender la integral de Riemann (exclusivamente por continuidad) a la finalización de $(X, d)$.
La conclusión resulta ser $L^{1}[0, 1]$, el espacio de Lebesgue integrable funciones en $[0, 1]$, y la integral de Lebesgue es la única extensión continua de la integral de Riemann.
Es un teorema en el análisis de que todas las funciones que son continuas en un intervalo cerrado (o, más en general, un conjunto compacto) también son uniformemente continua en ese intervalo cerrado (resp. conjunto compacto).
Como se ha mencionado en las otras respuestas, uniforme de continuidad es mucho más fuerte que otras nociones de continuidad. Una de las razones por las que es útil es que si estamos trabajando con una función continua en un intervalo cerrado, obtenemos uniforme de continuidad de forma gratuita.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
