Representación de grupo finito como $\mathrm{Aut}(\Gamma)$ acción $H^1(\Gamma,\mathbb{Z})$ de la gráfica?

Question

Dejemos que $\Gamma$ sea un gráfico finito, entonces $H^1(\Gamma,\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}^{g(\Gamma)}$ puede ser visto como un $\mathrm{Aut}(\Gamma)$ módulo.

A la inversa, dado un grupo finito $G$ y un $G$ -Módulo $\mathbb{Z}^n$ ¿existe siempre un gráfico finito $\Gamma$ de manera que el $G$ módulo $\mathbb{Z}^n$ surge como $G\overset{f}{\to}\mathrm{Aut}(\Gamma)\curvearrowright H^1(\Gamma,\mathbb{Z})$ para algunos $f\colon G\to \mathrm{Aut}(\Gamma)$ ?

Answer 1

No. Una acción de un grupo $G$ en un gráfico $\Gamma$ induce un homomorfismo $G\to \mathrm{Out}(\pi_1(\Gamma))=\mathrm{Out}(F_n)$ . Así que una representación $G\to \mathrm{GL}_n({\mathbb Z})$ puede proceder de una acción sobre un grafo sólo si se eleva a un homomorfismo $G\to \mathrm{Out}(F_n)$ sobre el homomorfismo cociente $\mathrm{Out}(F_n)\to \mathrm{GL}_n({\mathbb Z})$ . Este documento de Zimmermann da un ejemplo de subgrupo cíclico finito de $\mathrm{GL}_n({\mathbb Z})$ que no se levanta.