¿Cómo resolverlo en radicales?

Question

Cómo resolver la ecuación $x^5+10x^3+20x-18=0$ en los radicales? Una de sus raíces es $$\frac 1 5\, \left( -\frac1 4- \frac 1 4\,\sqrt {5}+\frac 1 4\,\sqrt {-10+2\,\sqrt {5}} \right) \sqrt [5]{28125-3125\,\sqrt {113}}-$$ $$10\,{\frac {-\frac 1 4-\frac 1 4\, \sqrt {5}-\frac 1 4\,\sqrt {-10+2\,\sqrt {5}}}{\sqrt [5]{28125-3125\,\sqrt { 113}}}}.$$ Sería un ejemplo útil para enseñar y aprender la teoría de Galois.

Answer 1

Utilizando mi aplicación que se basa en el documento de Daniel Lazard Resolver quínticos por radicales y tras una simplificación podemos representar las raíces de su quíntica en radicales de la siguiente manera: $$\begin{align} &x_{1,2} = \phi^2\, \gamma \pm i \, \beta, &x_{3,4} = -\gamma \pm i \, \phi\, \beta, \quad\quad &x_5=\frac{2}{\alpha }-\alpha,\quad\text{where}\\[5mm] &\phi = \frac{1+\sqrt{5}}2, &\alpha = \sqrt[5]{\sqrt{113} - 9\,},\quad\quad &\beta =\frac{\left(\alpha^2+2\right)\sqrt[4]{5}}{2\, \alpha\,\sqrt{\phi\,}},\quad\quad\gamma =\frac{\alpha ^2-2}{2 \,\alpha\, \phi }.\end{align}$$

Answer 2

La razón por la que podríamos querer utilizar la teoría de Galois es que no hay ninguna ecuación en radicales para un grado arbitrario $5$ polinomio. Pero evidentemente ya se conoce una raíz. Por lo tanto podemos utilizar la división con resto para obtener un polinomio de grado 4. Pero hay una fórmula conocida para las raíces de un polinoimal de grado 4. Quizá lo sepas, y también que es bastante largo.