El progreso en turbulencia ha llegado a trompicones, y es muy activo en los últimos años, debido a la influencia de AdS/CFT. Creo que se resolverá pronto, pero esta opinión fue compartida por muchos en generaciones anteriores, y puede ser demasiado optimista.
Ecuaciones de Navier-Stokes
Las ecuaciones básicas del movimiento de los flujos turbulentos se conocen desde el siglo XIX. La velocidad del fluido obedece a las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes:
$$ \dot v_i + v^j \nabla_j v^i + \partial_i P = \nu \partial_j \partial_j v_i $$ y
$$ \partial_j v_j = 0 $$
Donde los índices repetidos se suman, y las unidades de masa normalizan la densidad del fluido para que sea 1.
Cada uno de los términos es fácil de entender: el término no lineal da la advección, dice que la fuerza sobre el fluido actúa para acelerar el fluido a medida que se mueve junto con el fluido, no en una posición x fija. El término de presión P es sólo una fuerza de restricción que impone la incompresibilidad, y se determina tomando la divergencia de la ecuación, y haciendo que $\partial_i v_i = 0$ . Esto determina el laplaciano de la presión
$$ \partial_i v^j \partial_j v_i + \partial_i \partial_i P = 0$$
La fuerza de rozamiento dice que además de moverse junto a sí misma y de doblarse para mantener la densidad constante, la velocidad se difunde con una constante de difusión $\nu$ . En el límite $\nu=0$ se obtienen las ecuaciones de Euler, que describen la hidrodinámica en ausencia de fricción.
En cualquier condición de contorno apropiada, como caja periódica, o velocidades evanescentes en el infinito, la ecuación de presión determina la presión a partir de la velocidad. Las ecuaciones pueden resolverse en una malla, y el futuro se determina a partir del pasado.
El problema de la arcilla no tiene nada que ver con la turbulencia
El problema de demostrar que el límite a medida que la retícula llega a cero es en todas partes sensible y suave no es ni mucho menos trivial. Es uno de los problemas del premio del millón de dólares del Instituto Clay. La razón por la que no es trivial no tiene nada que ver con la turbulencia, sino con el mucho más fácil escalamiento de Reynolds.
Existe una invariancia de escala en el espacio de la solución, como se describe en el blog de Terrance Tao. La escala clásica de Reynolds dice que si tienes cualquier flujo de fluido incompresible, y lo haces dos veces más pequeño, dos veces más rápido, obtienes un segundo flujo que también está bien. Puedes imaginar un flujo de fluido que genera una copia más pequeña y rápida de sí mismo, y así sucesivamente, y finalmente produce un punto singular donde el flujo es infinitamente rápido e infinitamente pequeño - una singularidad.
Este tipo de singularidad tiene una energía desvanecida en 3d, porque el volumen se encoge más rápido que la densidad de energía de la velocidad. Esto es bueno y malo a la vez: es malo para los matemáticos, porque significa que no se puede utilizar un simple límite de energía para prohibir este tipo de divergencia. Es bueno para la física, porque significa que este tipo de explosiones, aunque se produzcan, son pequeñas manchas completamente irrelevantes que no afectan al movimiento a gran escala, donde se produce la turbulencia. Si ocurren, sólo afectan a pequeños puntos de medida cero a distancias minúsculas, y se resolverían mediante una nueva física, una hiperviscosidad más fuerte, que los haría decaer a algo suave antes de estallar. No conducen a una pérdida de previsibilidad fuera de una región microscópica, porque existe una simetría galileana que desvincula los flujos a gran escala de los flujos a pequeña escala. A un flujo grande no le importa la divergencia de un punto, sólo advierte la divergencia a lo largo. Esto no es matemática rigurosa, pero es obvio en el sentido físico, y no debería hacer perder el sueño a nadie que estudie la turbulencia por la existencia/unicidad.
Cuando se sustituye la difusión de la velocidad por una amortiguación más rápida, llamada "hiperviscosidad", se puede demostrar la existencia y la unicidad. Pero el problema de la turbulencia no se ve afectado por la hiperviscosidad, ni siquiera por la viscosidad ordinaria. Todo ocurre en el régimen de Euler, mucho antes de que aparezca la viscosidad. Esta es otra razón para estar seguros de que el problema de Clay es irrelevante.
Si yo estuviera escribiendo el problema de Clay, no habría pedido la existencia/unicidad. Habría pedido una distribución estadística en los campos de velocidad diferencial, que es un estado estacionario de atracción para el flujo NS agitado de gran longitud de onda. Este es un problema mucho más difícil, y mucho más importante, porque es el problema de las turbulencias. Además, si tal distribución existe, y si es lo suficientemente atractiva, podría demostrar que las ecuaciones NS tienen una solución suave a partir de un conjunto de condiciones iniciales de medida cero. El punto fijo atrayente tendrá ciertamente un decaimiento exponencial de la energía en el régimen viscoso, y si todo se acerca a esto, todo se mantiene suave.
¿Por qué las turbulencias?
Horace Lamb, un conocido físico matemático del siglo XIX, de viejo bromeó diciendo que cuando llegara al cielo le haría dos preguntas a Dios: "¿Por qué la relatividad? y ¿por qué la turbulencia?" Luego dijo que es optimista en cuanto a obtener una buena respuesta a la primera pregunta.
Creo que también debería haber sido optimista respecto al segundo. La razón de la turbulencia ya está clara en la catástrofe ultravioleta de la mecánica estadística clásica. Cuando se tiene un campo clásico, la equiparación de la energía significa que toda la energía se concentra en los modos de longitud de onda más corta, por la sencilla razón de que hay un montón más de modos de longitud de onda corta que de longitud de onda larga. Esto significa que es imposible alcanzar el equilibrio de las partículas clásicas y los campos clásicos, los campos chupan toda la energía hasta las escalas de distancias más cortas.
Pero en la mayoría de las situaciones, hay movimientos que no pueden transferir fácilmente la energía a distancias cortas de forma directa. La razón es que estos movimientos están protegidos por las leyes de conservación. Por ejemplo, si tenemos una onda sonora, parece localmente una traslación del cristal, lo que significa que no puede volcar energía en modos cortos inmediatamente, sino que tarda un tiempo. En el caso del sonido, hay una atenuación gradual que desaparece en las longitudes de onda largas, pero la atenuación es real. Hay un flujo de energía desde los modos de longitud de onda larga a los de longitud de onda más corta en un solo paso.
Pero en otras teorías de campo, el flujo de energía es más local en $k$ -espacio. El análogo de la fricción de las ondas sonoras en Navier-Stokes es la atenuación de una velocidad debido a la viscosidad. Se trata de un proceso de difusión y se escala como $\sqrt{r}$ donde $r$ es la escala de variación de la velocidad. Si tienes un término que mezcla los modos de forma no lineal que escala mejor a largas distancias, que tarda menos tiempo en mover la energía a modos más pequeños que el proceso de disipación difusiva de un solo paso, dominará a largas distancias.
Además, si se trata de un término no lineal polinómico que conserva la energía, la mezcla se producirá generalmente entre escalas cercanas. La razón es la aditividad de los vectores de onda bajo la multiplicación. Un término cuadrático con una derivada (como en la ecuación de Navier-Stokes) producirá nuevos números de onda en el rango de la suma de los números de onda del movimiento original.
Por lo tanto, debe haber un flujo local de energía hacia números de onda más pequeños, simplemente por el recuento de modos de catástrofe ultravioleta, y este flujo de energía debe ser más o menos local (local en el espacio logarítmico) debido a la restricción de aditividad del número de onda. El fenómeno de la turbulencia se produce en el régimen en el que este flujo de energía, llamado cascada (descendente), domina la dinámica, y el término de fricción es despreciable.
Teoría de Kolmogorov
El primer gran avance en el estudio de la turbulencia llegó con Kolmogorov, Heisenberg, Obukhov y Onsager en los años de la guerra. La interrupción de las comunicaciones científicas en tiempos de guerra significa que estos resultados fueron probablemente independientes.
La teoría que surgió se llama generalmente K41 (por Kolmogorov 1941), y es el cero th descripción del orden de las turbulencias. Para describir la cascada, Kolmogorov supuso que existe un flujo de energía constante hacia abajo, llamado $\epsilon$ que termina en el régimen en el que interviene la viscosidad, y que hay muchas décadas de $k$ -espacio de flujo entre la región de bombeo donde se impulsa el fluido y la región viscosa donde se drena la energía.
El resultado es que el espectro tiene una distribución estadística de energía en cada modo. Kolmogorov dio un argumento dimensional para esta distribución que se ajustaba aproximadamente a la precisión de las mediciones de la época.
A partir de la ley de escala, se podían extraer todas las funciones de correlación de la velocidad, y existía una relación exacta: la ley Kolmogorov-Obukhov -5/3. Se creyó que estas relaciones resolvían el problema durante una década.
Turbulencia 2D
En 2D, Kraichnan predijo un fenómeno notable: la cascada inversa. El argumento ultravioleta genérico supone que el movimiento es ergódico en la superficie de energía, y esto requiere que no haya leyes de conservación adicionales. Pero en 2d, el flujo conserva el cuadrado de la vorticidad, llamado la enstrofia. La enstrofia $U$ es
$$U = \int |\nabla \times v|^2 $$
Y esto tiene dos derivados más que la energía, por lo que crece más rápido con $k$ . Si se hace una distribución estadística de Boltzmann para $v$ a energía constante y enstrophy constante, el alto $k$ Los modos están fuertemente suprimidos porque tienen una enorme enstrofia. Esto significa que no se puede generar una alta $k$ modos a partir del pequeño $k$ modos.
En cambio, se encuentra más libertad en las pequeñas $k$ ¡modos! La cascada de energía sube genéricamente, en lugar de bajar, porque a longitudes de onda más largas, se puede repartir la energía en más movimientos con la misma enstrofia inicial, porque la restricción de la enstrofia desaparece. Esta es la cascada inversa, y fue predicha teóricamente por Kraichnan en 1968.
La cascada inversa es notable, porque viola las intuiciones de la catástrofe ultravioleta. Se ha verificado ampliamente mediante simulaciones y experimentos en flujos 2d aproximados. Proporciona una explicación para la aparición de estructuras a gran escala en la atmósfera, como los huracanes, que se amplifican por los flujos turbulentos circundantes, en lugar de decaer. Es el avance más significativo en la teoría de la turbulencia desde K41.
Teoría moderna
Intentaré revisar la literatura reciente, pero no estoy familiarizado con gran parte de ella, y es un campo muy profundo, con muchos desacuerdos entre varios campos. También hay muchos resultados erróneos, por desgracia.
Un gran impulso para los trabajos modernos proviene del análisis de los flujos turbulentos en nuevos sistemas análogos a los fluidos. El fenómeno de la turbulencia debería darse en cualquier ecuación no lineal, y la imagen de cascada debería ser válida siempre que las interacciones se aproximen razonablemente mediante polinomios que sean locales en log- $k$ espacio.
Un lugar donde esto se estudia mucho es en la cosmología, en los modelos de precalentamiento. El campo que produce la turbulencia es un inflatón escalar (o campos acoplados al inflatón) que transfiere energía en cascada para producir finalmente partículas del modelo estándar.
Otro lugar donde se estudia esto es en los plasmas de quarks y gluones. Estos fluidos tienen un régimen de flujo que está relacionado con un dual gravitacional por AdS/CFT. El análogo gravitacional de los flujos turbulentos tiene una contrapartida gravitacional clásica en las leyes del paradigma de la membrana de los agujeros negros. Yaron Oz es una de las personas que trabaja en esto.
Uno de los resultados más sorprendentes de los últimos años es la derivación por parte de Oz de las leyes exactas del escalamiento turbulento a partir de los principios de conservación únicamente, sin una suposición de cascada completa. Esto es, http://arxiv.org/abs/0909.3404 y http://arxiv.org/abs/0909.3574
Modelo Kraichnan
Kraichnan dio un modelo interesante para la advección de campos escalares pasivos por un flujo turbulento. El modelo es una partícula de polvo transportada por el fluido.
Esto es importante, porque la partícula advectada realiza un vuelo de Levy, no un movimiento browniano. Esto se ha verificado experimentalmente, pero también es importante porque da una explicación cualitativa de la intermitencia.
Los vuelos de Levy tienden a agruparse en regiones antes de avanzar con un gran salto. La velocidad se advierte a sí misma como advierte una partícula de polvo, así que si el polvo está haciendo un vuelo de Levy, es razonable que la velocidad también lo haga. Esto significa que se espera que las perturbaciones de la velocidad se concentren en regiones de turbulencia aislada, y que esta concentración debería seguir una ley de potencia bien definida, según la advección escalar.
Estas ideas están relacionadas con el modelo Mandelbrot de los multifractales. Mandelbrot dio este modelo para entender cómo es que los flujos turbulentos pueden tener un gradiente de velocidad que se concentra en ciertas regiones geométricas. El modelo es cualitativo, pero la imagen corrige los exponentes de K41, que suponen que la velocidad se produce en cascada de forma homogénea en todo el espacio.
Formalismos Martin-Siggia-Rose
El mayor avance en el enfoque de renormalización de la turbulencia se produjo en la década de 1970, con el desarrollo del formalismo Martin-Siggia-Rose. Esto proporcionó una manera de describir formalmente las estadísticas de una ecuación clásica utilizando un campo multiplicador de Lagrange que acompaña al análisis de renormalización.
Forster Nelson Stevens dio un análisis clásico del problema de la cascada inversa en 3d, el problema del perfil de longitud de onda de un fluido agitado a corta distancia. Aunque este problema no está directamente relacionado con la turbulencia, tiene cierta relación en el sentido de que la distribución estadística en estado estacionario requiere tener en cuenta las interacciones entre los modos vecinos, que sí conducen a una cascada.
Los puntos fijos de FNS incluyen espectros similares a los de Kolmogorov con algunas fuerzas de agitación, pero no hay ninguna condición para que las fuerzas de agitación estén en un punto fijo del grupo de renormalización. Su análisis, sin embargo, sigue siendo el punto álgido del formalismo MSR aplicado a la turbulencia. Este tema ha estado inactivo durante casi treinta años.
Lo que queda por hacer
El principal problema no resuelto es la predicción de los exponentes de intermitencia, es decir, las desviaciones de la escala de Kolmogorov en las funciones de correlación de la turbulencia completamente desarrollada. Estos exponentes se conocen ahora experimentalmente con una precisión de dos decimales, creo, y su universalidad se ha verificado ampliamente, por lo que el concepto de cascada estadística homogénea tiene sentido.
Derivar estos exponentes requiere un nuevo principio por el cual se puede extraer la distribución estadística de un campo que interactúa de forma no lineal a partir de las ecuaciones de movimiento. Hay soluciones formales que no llevan a ninguna parte, porque empiezan muy lejos de los puntos fijos de renormalización, sin embargo, cada enfoque es iluminador de una manera u otra.
Esta es una crítica terrible, de memoria, pero es mejor que nada. Disculpas a la mayoría de la gente.
