Suma de una función cuasi-convexa y convexa

Question

Dejemos que $\Omega$ sea un conjunto, por ejemplo $\mathbb{R}^n$ para $n \in \mathbb{N}$ . Sea $f$ sea una función convexa de $\Omega$ a $\mathbb{R}$ . Sea $g$ sea una función cuasi-convexa de $\Omega$ a $\mathbb{R}$ .

Es $f+g$ ¿Casi-convexo? La prueba no es sencilla a partir de la definición: Sea $\lambda \in \left[0,1\right]$ . Sea $(x,y) \in \Omega$ . Entonces, $\lambda (f+g)(x)+(1-\lambda)(f+g)(y) \leq max(g(x),g(y)) + \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$ . lo que no ayuda a concluir nada.

Answer 1

La afirmación es errónea por $\Omega = \mathbb{R}$ .

Dejemos que $f(x)=-x$ y $g(x)=x-\frac{1}{2}|x|$ . $f$ es obviamente convexo, y $g$ es monotónicamente creciente, y por tanto cuasi-convexa, pero su suma $(f+g)(x)=-\frac{1}{2}|x|$ no es obviamente cuasi-convexo.