Estoy tratando de resolver el siguiente problema:
Dejemos que $\mathcal{H}$ sea un espacio de Hilbert y $V\subset\mathcal{H}$ un subespacio cerrado no trivial. Sea $\{e_{k}\}_{k=1}^{\infty}$ sea una base ortonormal para $\mathcal{H}$ y $P:\mathcal{H}\rightarrow V$ la proyección ortogonal de $\mathcal{H}$ en $V$ . Por último, dejemos que $f_k:=Pe_k,\ k\in\mathbb{N}$ .
(i) Demuestre que para $f\in V$ ,
$$f=\sum_{k=1}^{\infty}\langle f,e_k\rangle f_k.$$
(ii) Demostrar que a pesar de la propiedad (i), la familia $\{f_k\}_{k=1}^{\infty}$ no es una base para $V$ . Sugerencia: Considere cualquier $\varphi\in V^{\perp}\setminus\{0\}$ y demostrar que
$$\sum_{k=1}^{\infty}\langle\varphi,e_k\rangle f_k=0,$$
y usar eso $f=f+P\varphi$ .
(iii) Argumentar cómo (i) y (ii) pueden generalizarse a una base de Schauder $\{e_k\}_{k=1}^{\infty}$ para $\mathcal{H}$ .
$\textbf{My solution:}$ Antes de presentar lo que he hecho hasta ahora me saltaré algunos cálculos simplemente porque sé que son correctos y en intento de no hacer este post demasiado largo.
$\textbf{Edit:}$ Ya he publicado esto antes, pero ahora espero haber arreglado mis soluciones a (i) y (ii).
(i) : Dado que cualquier $f\in V$ también implica $f\in\mathcal{H}$ desde $V\subset\mathcal{H}$ entonces $f$ tendrá la expansión
$$f=\sum_{k=1}^{\infty}\langle f,e_k\rangle e_k.$$
Desde $P$ proyectos $V$ en sí mismo esto significa que $Pf=f$ por lo que ahora tenemos
$$\begin{align*} f = Pf &= P\left(\sum_{k=1}^{\infty}\langle f,e_k\rangle e_k\right) \\ &= \sum_{k=1}^{\infty}\langle f,e_k\rangle Pe_k \\ &= \sum_{k=1}^{\infty}\langle f,e_k\rangle f_k \end{align*}$$
que es exactamente lo que queríamos mostrar.
(ii) : Considere $\varphi\in V^{\perp}\setminus\{0\}$ . Entonces podemos considerar cualquier $f\in V$ como $f=f+P\varphi$ ya que $P\varphi=0$ . Con esto tenemos ahora
$$\begin{align*} f=f+P\varphi &= \sum_{k=1}^{\infty}\langle f,e_k\rangle f_k + P\left(\sum_{k=1}^{\infty}\langle\varphi,e_k\rangle e_k\right) \\ &= \sum_{k=1}^{\infty}\langle f,e_k\rangle f_k + \sum_{k=1}^{\infty}\langle\varphi,e_k\rangle f_k \end{align*}$$
Desde $P\varphi=0$ ahora tenemos que
$$\sum_{k=1}^{\infty}\langle\varphi,e_k\rangle f_k=0.$$
Desde $\varphi\neq 0$ por construcción entonces $\langle\varphi,e_k\rangle\neq 0$ para todos $k\in\mathbb{N}$ desde $e_k\neq 0$ para todos $k\in\mathbb{N}$ desde $\{e_k\}_{k=1}^{\infty}$ es una base ortonormal para $\mathcal{H}$ . Esto sólo deja la opción de $f_k=0$ para todos $k\in\mathbb{N}$ . Esto demuestra que $\{f_k\}_{k=1}^{\infty}$ no puede ser una base para $V$ .
$\textbf{Comment:}$ He visto que para una base ortonormal si $\sum_{k=1}^{\infty}\langle f,e_k\rangle f_k=0$ esto debería implicar que $f=0$ . Por eso concluyo que $\{f_k\}_{k=1}^{\infty}$ no es una base para $V$ . Pero lo que todavía me confunde y también me hace pensar que no lo he hecho bien es el hecho de que $\varphi\not\in V$ por lo que puedo llegar a la conclusión de que $\{f_k\}_{k=1}^{\infty}$ no es una base para $V$ ? ¿O puedo hacerlo ya que el elemento $f=f+P\varphi\in V$ así $P\varphi=0\in V$ ¿Cuál es la suma que estoy considerando?
En cuanto a (iii), no tengo ni idea, así que se agradecería cualquier pista.
Gracias de antemano.
