Pistas o cómo empezar a deducir el comportamiento asintótico de $\sum_{n\leq x}p_{n+1}^{-\frac{n}{n+1}}$ , $p_k$ denota el $k$ El número primo

Question

Se sabe cómo diverge más rápidamente la suma de los recíprocos de los números primos, véase por ejemplo esto Wikipedia, Divergencia de la suma de los recíprocos de los primos .

Para los números enteros $n\geq 1$ denotamos el $n$ número primo como $p_n$ .

Así (este razonamiento es la comparación con la declaración anterior) después de haber asumido la conjetura de Firoozbakht, ver esto Wikipedia Me hice esta pregunta.

Pregunta. En definitiva sé como consecuencia de la suposición de la conjetura de Firoozbakht, y dado que la suma de recíprocos de primos es divergente, que la siguiente secuencia en $(1)$ es divergente cuando $x\to\infty$ . ¿Cuál es la técnica que necesito para deducir (una afirmación sobre) el comportamiento asintótico de $$\sum_{n\leq x}\frac{1}{p_{n+1}^{\frac{n}{n+1}}}\tag{1}$$ como $x\to\infty?$ Muchas gracias.

Se ha corregido un error tipográfico en la serie.

Obsérvese que este ejercicio es diferente de (divergencia y fórmula asintótica de la suma de recíprocos de primos) el explicado en la sección 4.8 de Apostol, Introducción a la teoría analítica de números , Springer (1978). Ahora necesito manejar el subíndice $n$ que también aparece en el exponente del denominador .

Answer 1

Si escribimos

$$p_n^{-\frac{n-1}{n}} = \frac{1}{p_n}\cdot \sqrt[n]{p_n}$$

y observe que $\sqrt[n]{p_n} \to 1$ "suficientemente rápido", observamos que su suma apenas difiere de la suma de los recíprocos de los primos. De hecho, como

$$\sqrt[n]{p_n} - 1 = \exp\biggl(\frac{1}{n}\log p_n\biggr) - 1 \sim \frac{\log p_n}{n} \sim \frac{(\log p_n)^2}{p_n}$$

se deduce que

$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{p_n}-1}{p_n}$$

es convergente. Por lo tanto,

\begin{align} \sum_{n \leqslant x} p_{n+1}^{-\frac{n}{n+1}} &= -1 + \sum_{n \leqslant x+1} p_n^{-\frac{n-1}{n}} \\ &= -1 + \sum_{n \leqslant x+1} \frac{1}{p_n} + \sum_{n \leqslant x+1} \frac{\sqrt[n]{p_n} - 1}{p_n} \\ &= \log \log p_{\lfloor x\rfloor+1} + \Biggl(M-1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{p_n}-1}{p_n}\Biggr) + O\bigl((\log x)^{-1}\bigr) - \sum_{n > x+1} \frac{\sqrt[n]{p_n}-1}{p_n} \\ &= \log \log x+ \Biggl(M-1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{p_n}-1}{p_n}\Biggr) + o(1). \end{align}

Podemos estimar la suma de la cola

$$\sum_{n > x+1} \frac{\sqrt[n]{p_n}-1}{p_n} \in O\biggl(\frac{(\log x)^2}{x}\biggr)$$

fácilmente, y

$$\log \log p_k = \log (\log k + O(\log \log k)) = \log \log k + O\biggl(\frac{\log \log k}{\log k}\biggr)$$

muestra que nuestro $o(1)$ es de hecho $O\bigl(\frac{\log \log x}{\log x}\bigr)$ .