Encontrar el valor de $c$ para hacer $-\dfrac{1}{2}x^2+x+c$ un trinomio cuadrado perfecto

Question

Debería encontrar el valor de $c$ para hacer: $$-\dfrac{1}{2}x^2+x+c$$ a trinomio cuadrado perfecto.

Lo he estropeado todo: $-\dfrac{1}{2}x^2+x+c=x-\dfrac{1}{2}x^2+c$ pero parece que $-\dfrac{1}{2}x^2$ no es $a^2\boldsymbol{-2ab}+b^2$ . ¿Puede ayudarme?

Answer 1

Extraer el $-1/2$ de la ecuación: $$ -\frac{1}{2}x^2 + x + c = -\frac{1}{2}( x^2 - 2x - 2c ) $$ La expresión $ x^2 - 2x - 2c $ es similar a la expresión $ x^2-2x + 1 = (x-1)^2 $ lo que da como resultado que $$ -2c = 1 \rightarrow c = -\frac{1}{2} $$ y la expresión final es: $$ -\frac{1}{2}(x-1)^2 $$

Answer 2

Necesitamos $B^2-4AC=0$ es decir

$$1+2c=0 \implies c=-\frac12$$

En efecto, obtenemos

$$-\frac12(x^2-2x+1)=\left(\frac i{\sqrt2}(x-1)\right)^2$$

Por lo tanto, no hay $c$ para tener un cuadrado perfecto en los reales.