Completar el cuadrado de expresiones cuadráticas de tres variables

Question

Sabemos que completar $ax^2+bxy+cz^2$ en formas de $k_{1}(a_{1}x+b_{1}y)^2+k_{2}(a_{2}x+b_{2}y)^2$ es fácil y tiene una rutina fija. Pero el caso de 3 variables $$ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyx$$ no parece tan trivial. ¿Existe alguna fórmula general que complete esto en una combinación lineal de 3 cuadrados?

Por ejemplo, $$xy+xz-3yz=\frac{1}{3}x^2-\frac{3}{4}(\frac{2}{3}x-y-z)^2+\frac{3}{4}(y-z)^2$$ En este ejemplo he utilizado el método de los coeficientes indeterminados, pero es complicado y tiene demasiadas variables.

Answer 1

Creo que primero escribiré la respuesta de forma legible. Encontrarla es el método de Hermite, material estándar en cualquier libro sobre formas cuadráticas. Es tradicional escribir las formas en tres variables como $$ g(x,y,z) = a x^2 + b y^2 + c z^2 + d y z + e z x + f x y. $$ Tenga en cuenta la $zx$ orden, todo cíclico...

Con las variables como coeficientes, no podemos cubrir las dificultades ocasionales. Definir $$ \delta = 4 a b - f^2 $$ y $$ \Delta = 4abc + def - a d^2 - b e^2 - c f^2. $$ Tenga en cuenta que $\delta$ es menos el discriminante de la forma binaria $a x^2 + f x y + b y^2.$ Entonces $\Delta$ es el discriminante de Brandt e Intrau, menos el discriminante de Watson, y el mismo de Lehman, para $g$ sí mismo.

Para evitar los denominadores, obtenemos $$ 4a \delta g(x,y,z) = \delta (2ax + f y + e z)^2 + (\delta y + (2ad-ef)z)^2 + 4 a \Delta z^2. $$

Cuando $\Delta = 0,$ esto solo dice que $g$ no es de rango completo, es realmente una forma binaria disfrazada. Si $\delta = 0,$ probablemente sea mejor permutar las variables, para permutar los coeficientes y así hacer que ambos $a$ y $\delta$ no es cero. Como he dicho, no podemos cubrir todos los problemas posibles cuando se utilizan coeficientes variables.

Si se desea, existe un método algorítmico; dependiendo del uso, puede ser necesario invertir una determinada matriz al final. Sin embargo, esa matriz será de tres por tres con determinante $1,$ por lo que la inversa no es difícil. Ver respuesta de el.Salvador en Dada una $4\times 4$ matriz simétrica, ¿existe una forma eficiente de encontrar sus valores propios y diagonalizarla?

Answer 2

Pensé en mostrar lo que el algoritmo de el.Slavador de Dada una $4\times 4$ matriz simétrica, ¿existe una forma eficiente de encontrar sus valores propios y diagonalizarla? hace para su forma $xy + zx - 3yz.$ Tuve que doblar para obtener enteros en $M,$ no es realmente importante. Se reduce a $$ \left(\frac{1}{2} \, x + \frac{1}{2} \, y - z \right)^2 - \frac{1}{4} (-x+y+4z)^2 + 3 z^2 = xy + zx - 3yz. $$

$$ Q^T D Q = H $$ $$\left( \begin{array}{rrr} \frac{ 1 }{ 2 } & - 1 & 0 \\ \frac{ 1 }{ 2 } & 1 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{ 1 }{ 2 } & 0 \\ 0 & 0 & 6 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} \frac{ 1 }{ 2 } & \frac{ 1 }{ 2 } & - 1 \\ - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & - 3 \\ 1 & - 3 & 0 \\ \end{array} \right) $$

$$ E_j^T D_{j-1} E_j = D_j $$ $$ P_{j-1} E_j = P_j $$ $$ E_j^{-1} Q_{j-1} = Q_j $$ $$ P_j Q_j = I $$ $$ P_j^T H P_j = D_j $$ $$ Q_j^T D_j Q_j = H $$

$$ H = \left( \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & - 3 \\ 1 & - 3 & 0 \\ \end{array} \right) $$

\==============================================

$$ E_{1} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) $$ $$ P_{1} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; Q_{1} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; D_{1} = \left( \begin{array}{rrr} 2 & 1 & - 2 \\ 1 & 0 & - 3 \\ - 2 & - 3 & 0 \\ \end{array} \right) $$

\==============================================

$$ E_{2} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & - \frac{ 1 }{ 2 } & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) $$ $$ P_{2} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & - \frac{ 1 }{ 2 } & 0 \\ 1 & \frac{ 1 }{ 2 } & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; Q_{2} = \left( \begin{array}{rrr} \frac{ 1 }{ 2 } & \frac{ 1 }{ 2 } & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; D_{2} = \left( \begin{array}{rrr} 2 & 0 & - 2 \\ 0 & - \frac{ 1 }{ 2 } & - 2 \\ - 2 & - 2 & 0 \\ \end{array} \right) $$

\==============================================

$$ E_{3} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) $$ $$ P_{3} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & - \frac{ 1 }{ 2 } & 1 \\ 1 & \frac{ 1 }{ 2 } & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; Q_{3} = \left( \begin{array}{rrr} \frac{ 1 }{ 2 } & \frac{ 1 }{ 2 } & - 1 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; D_{3} = \left( \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{ 1 }{ 2 } & - 2 \\ 0 & - 2 & - 2 \\ \end{array} \right) $$

\==============================================

$$ E_{4} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) $$ $$ P_{4} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & - \frac{ 1 }{ 2 } & 3 \\ 1 & \frac{ 1 }{ 2 } & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; Q_{4} = \left( \begin{array}{rrr} \frac{ 1 }{ 2 } & \frac{ 1 }{ 2 } & - 1 \\ - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; D_{4} = \left( \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{ 1 }{ 2 } & 0 \\ 0 & 0 & 6 \\ \end{array} \right) $$

\==============================================

$$ P^T H P = D $$ $$\left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ - \frac{ 1 }{ 2 } & \frac{ 1 }{ 2 } & 0 \\ 3 & - 1 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & - 3 \\ 1 & - 3 & 0 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & - \frac{ 1 }{ 2 } & 3 \\ 1 & \frac{ 1 }{ 2 } & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{ 1 }{ 2 } & 0 \\ 0 & 0 & 6 \\ \end{array} \right) $$ $$ Q^T D Q = H $$ $$\left( \begin{array}{rrr} \frac{ 1 }{ 2 } & - 1 & 0 \\ \frac{ 1 }{ 2 } & 1 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{ 1 }{ 2 } & 0 \\ 0 & 0 & 6 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} \frac{ 1 }{ 2 } & \frac{ 1 }{ 2 } & - 1 \\ - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & - 3 \\ 1 & - 3 & 0 \\ \end{array} \right) $$

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    parisize = 4000000, primelimit = 500509
    ? m = [ 0,1,1; 1,0,-3; 1,-3,0]
    %1 = 
    [0 1 1]

    [1 0 -3]

    [1 -3 0]

    ? m - mattranspose(m)
    %2 = 
    [0 0 0]

    [0 0 0]

    [0 0 0]

    ? p1 = [ 1,0,0; 1,1,0; 0,0,1]
    %3 = 
    [1 0 0]

    [1 1 0]

    [0 0 1]

    ? 
    ? m1 = mattranspose(p1) * m * p1
    %4 = 
    [2 1 -2]

    [1 0 -3]

    [-2 -3 0]

    p2 = [ 1, -1/2, 1; 0,1,0; 0,0,1]    

    ? p2 = [ 1, -1/2, 1; 0,1,0; 0,0,1]  
    %5 = 
    [1 -1/2 1]

    [0 1 0]

    [0 0 1]

    ? m2 = mattranspose(p2) * m1 * p2 
    %6 = 
    [2 0 0]

    [0 -1/2 -2]

    [0 -2 -2]

    ? 

    p3 = [1,0,0; 0,1,-4; 0,0,1]
    ? 
    ? p3 = [1,0,0; 0,1,-4; 0,0,1]
    %7 = 
    [1 0 0]

    [0 1 -4]

    [0 0 1]

    ? m3 = mattranspose(p3) * m2 * p3   
    %8 = 
    [2 0 0]

    [0 -1/2 0]

    [0 0 6]

    ? p = p1 * p2 * p3
    %9 = 
    [1 -1/2 3]

    [1 1/2 -1]

    [0 0 1]

    ? 
    ? matdet(p)
    %10 = 1
    ? 
    ? q = matadjoint(p)
    %11 = 
    [1/2 1/2 -1]

    [-1 1 4]

    [0 0 1]

    ? 
    ? m3
    %12 = 
    [2 0 0]

    [0 -1/2 0]

    [0 0 6]

    ? 
    ?  mattranspose(q) * m3 * q   
    %13 = 
    [0 1 1]

    [1 0 -3]

    [1 -3 0]

? m
%14 = 
[0 1 1]

[1 0 -3]

[1 -3 0]

? p
%15 = 
[1 -1/2 3]

[1 1/2 -1]

[0 0 1]

? 
?  mattranspose(p) * m * p    
%16 = 
[2 0 0]

[0 -1/2 0]

[0 0 6]

? 

Recogí un montón de estos, en algunos i respuesta y tipografía también, más fácil de leer que este:

referencia para libros de álgebra lineal que enseñan el método de Hermite inverso para matrices simétricas

Diagonalización de la forma bilineal

Dada una $4\times 4$ matriz simétrica, ¿existe una forma eficiente de encontrar sus valores propios y diagonalizarla?

Encuentra la matriz de transición que transformaría esta forma en una forma diagonal.

Escribir una expresión como suma de cuadrados

Matriz determinante $A$ y $B$ , matriz rectangular