¿Es la suma $\sum_{d\mid n}\frac1{d+1}$ ¿nunca es integral?

Question

Recordemos que un número entero positivo $n$ es un número perfecto si y sólo si $$\frac{\sigma(n)}n=\sum_{d\mid n}\frac1d=2.$$

PREGUNTA: ¿Es cierta mi siguiente conjetura?

Conjetura . (i) Tenemos $\sum_{d\mid n}\frac1{d+1}\not\in\mathbb Z$ para todos $n=1,2,3,\ldots$ . Además, para cualquier número entero positivo $k$ y $m$ Todos los números $$\sum_{d\mid n}\frac1{(d+m)^k}\ \ (n=1,2,3,\ldots)$$ tienen partes fraccionarias distintas por pares, y ninguna de ellas es un número entero.

(ii) Para cualquier número entero $k>1$ Todos los números $$\sum_{d\mid n}\frac1{d^k}\ \ (n=1,2,3,\ldots)$$ tienen partes fraccionarias distintas por pares.

Formulé esta conjetura en octubre de 2015 sobre la base de mis cálculos. ¡Sus comentarios son bienvenidos!

Answer 1

Para un conjunto dado de primos $Q=\{q_1,\dots,q_k\}$ a cada primo $p\not\in Q$ podemos asociar la red $$ L=L_{q_1,\dots,q_k,p}=\{(a_1,\dots,a_k)\in\mathbb{Z}^k: \prod_{i=1}^kq_i^{a_i}\equiv 1 \bmod p\}. $$ y el coset $$ H_m=H_{m;q_1,\dots,q_k,p}=\{(a_1,\dots,a_k)\in\mathbb{Z}^k: \prod_{i=1}^kq_i^{a_i}\equiv -m \bmod p\}. $$ Entonces, para todos los $n$ de la forma $$ n=\prod_{i=1}^kq_i^{e_i}, $$ $e_i>0$ para todos $1\leq i\leq k$ si existe un primo $p$ tal que la caja $$ E_n=\{(a_1,\dots,a_k)\in\mathbb{Z}^k: 0\leq a_i\leq e_i, \mbox{for all }1\leq i\leq k\}, $$ se cruza con $H_m$ en exactamente un elemento, (por lo tanto, exactamente un divisor $d$ de $n$ satisface $p|(d+m)$ ), como $n$ satisface $$ \sum_{d|n}\frac{1}{d+m}\not\in\mathbb{Z}. $$