¿Cómo es que el número $N!$ puede terminar exactamente en $1,2,3,4,$ ou $6$ ceros pero nunca $5$ ¿Ceros?

Question

Posible duplicado:
Potencia más alta de un primo $p$ dividiendo $N!$

¿Cómo es que el número $N!$ puede terminar exactamente en $1,2,3,4,$ ou $6$ ceros pero nunca $5$ ¿Ceros?

Answer 1

El número de ceros al final de $N!$ viene dada por $$\left \lfloor \frac{N}{5} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{N}{5^2} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{N}{5^3} \right \rfloor + \cdots$$ donde $\left \lfloor \frac{x}{y} \right \rfloor$ es el mayor número entero $\leq \frac{x}{y}$ .

Para que quede claro, escriba $N!$ como producto de primos $N! = 2^{\alpha_2} 3^{\alpha_2} 5^{\alpha_5} 7^{\alpha_7} 11^{\alpha_{11}} \ldots$ donde $\alpha_i \in \mathbb{N}$ .

Tenga en cuenta que $\alpha_5 < \alpha_2$ , $\forall N$ . (¿Por qué?)

El número de ceros al final de $N!$ es la mayor potencia de $10$ dividiendo $N!$

Si $10^{\alpha}$ divide $N!$ y como $10 = 2 \times 5$ , $2^{\alpha} | N!$ y $5^{\alpha} | N!$ . Además, puesto que $\alpha_5 < \alpha_2$ la más alta potencia de $10$ dividiendo $N!$ es la mayor potencia de $5$ dividiendo $N!$ que es $\alpha_5$ .

Así que usted encontrará que para $N \leq 24$ el número de ceros será menor o igual a 4. Sin embargo, cuando $N$ golpea $25$ obtendrá 2 ceros adicionales de cortesía $25$ desde $25 \times 2^2 = 100$ . Por lo tanto, habrá un salto cuando se pase de $24$ a $25$ .

EDITAR:

Tenga en cuenta que habrá

1. Un salto de $1$ cero pasando de $(N-1)!$ a $N!$ si $5 || N$

2. Un salto de $2$ cero pasando de $(N-1)!$ a $N!$ si $5^2 || N$

3. Un salto de $3$ cero pasando de $(N-1)!$ a $N!$ si $5^3 || N$ y en general

4. Un salto de $k$ cero pasando de $(N-1)!$ a $N!$ si $5^k || N$

donde $a || b$ significa $a$ divide $b$ y gcd( $a,\frac{b}{a}$ ) = 1

EDIT

La mayor potencia de un primo que divide $N!$

En general, la mayor potencia de un primo $p$ dividiendo $N!$ viene dada por

$$s_p(N!) = \left \lfloor \frac{N}{p} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{N}{p^2} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{N}{p^3} \right \rfloor + \cdots$$

El primer término aparece ya que se quiere contar el número de términos menores que $N$ y son múltiplos de $p$ y cada una de ellas aporta una $p$ a $N!$ . Pero entonces cuando tienes múltiplos de $p^2$ no estás multiplicando sólo una $p$ pero estás multiplicando dos de estos primos $p$ al producto. Así que ahora se cuenta el número de múltiplos de $p^2$ menos de $N$ y añadirlos. Esto se recoge en el segundo término $\displaystyle \left \lfloor \frac{N}{p^2} \right \rfloor$ . Repite esto para tener en cuenta las potencias más altas de $p$ menos de $N$ .

En el caso del ejemplo actual, el mayor primo que divide a $10$ es $5$ . Por lo tanto, la mayor potencia de $10$ dividiendo $N!$ es igual a la mayor potencia de $5$ dividiendo $N!$ .

Mayor potencia de un primo que divide otros productos afines

En general, si queremos encontrar la mayor potencia de un primo $p$ dividiendo números como $\displaystyle 1 \times 3 \times 5 \times \cdots (2N-1)$ , $\displaystyle P(N,r)$ , $\displaystyle \binom{N}{r}$ La clave es escribirlos en términos de factoriales.

Por ejemplo, $$\displaystyle 1 \times 3 \times 5 \times \cdots (2N-1) = \frac{(2N)!}{2^N N!}.$$ Por lo tanto, la mayor potencia de un primo, $p>2$ dividiendo $\displaystyle 1 \times 3 \times 5 \times \cdots (2N-1)$ viene dada por $s_p((2N)!) - s_p(N!)$ , donde $s_p(N!)$ se define más arriba. Si $p = 2$ entonces la respuesta es $s_p((2N)!) - s_p(N!) - N$ .

De la misma manera, $$\displaystyle P(N,r) = \frac{N!}{(N-r)!}.$$ Por lo tanto, la mayor potencia de un primo, dividiendo $\displaystyle P(N,r)$ viene dada por $s_p((N)!) - s_p((N-r)!)$ , donde $s_p(N!)$ se define más arriba.

De la misma manera, $$\displaystyle C(N,r) = \binom{N}{r} = \frac{N!}{r!(N-r)!}.$$ Por lo tanto, la mayor potencia de un primo, dividiendo $\displaystyle C(N,r)$ viene dada por $s_p((N)!) - s_p(r!) - s_p((N-r)!)$ , donde $s_p(N!)$ se define más arriba.

Answer 2

Para responder a eso, hay que encontrar el punto de salto de 4 a 6 ceros. El primero está en 5!, el segundo en 10!, el tercero en 15!, y el cuarto en 20!. El siguiente punto está en 25!. Lo que ocurre ahí es que estás multiplicando por 5*5, lo que multiplicará con 2 números pares, y añadirá 2 ceros más.

Answer 3

HINT $\:$ El poder de un prime $\rm\:p\:$ dividiendo $\rm\ n!\:$ salta de $\rm\: p-1\:$ para $\rm\: n = p^2-1\:$ a $\rm\: p+1\:$ para $\rm\: n = p^2\:$ ya que sus son $\rm\:p-1\:$ naturales $\rm < p^2\ $ divisible por $\rm\:p\:,\:$ a saber $\rm\ p,\ 2\:p,\:\cdots\:,\: (p-1)\:p\:.\ $ Ahora pon $\rm\ p = 5\:.$