Espacio dual (Wikipedia)

Question

Me cuesta entender algo en Wikipedia :

"Si $V$ consiste en el espacio de vectores geométricos (flechas) en el plano, entonces las curvas de nivel de un elemento de $V^*$ forman una familia de líneas paralelas en $V$ . Así que un elemento de $V^*$ puede pensarse intuitivamente como una familia particular de líneas paralelas que cubren el plano. Para calcular el valor de una función en un vector dado, basta con determinar en cuál de las líneas se encuentra el vector. O, de manera informal, se "cuenta" cuántas líneas cruza el vector''.

$V$ es un espacio vectorial real de dimensión finita. Digamos, $V=\mathbb R^3$ . Tengo varios problemas con este texto: Uno es que no sé qué es un vector geométrico o una flecha. ¿Es sólo un vector?

Lo siguiente que no entiendo es qué quieren decir con curvas de nivel de un elemento de $V^\ast$ . Es decir, $f \in V^\ast$ se convierte en $\mathbb R$ . ¿Significa entonces que el nivel es constante? Si $f$ era un mapa en $\mathbb R^3$ entonces entiendo que la curva de nivel significaría la intersección de $f$ con un plano paralelo al $xy$ avión. Pero, ¿qué significa que el alcance sea sólo unidimensional?

Por favor, ¿podría alguien ayudarme a entender qué significa el párrafo anterior?

Answer 1

Aquí hay una traducción libre: "Un elemento del espacio dual $(\mathbf{R}^{2})^{*}$ del plano $\mathbf{R}^{2}$ tiene la forma $f(x, y) = ax + by$ para algunos números reales $a$ , $b$ . Si $c$ es real, el curva de nivel en la altura $c$ es el conjunto de soluciones de $ax + by = c$ , es decir, la línea $\ell$ ortogonal a $(a, b)$ y que se encuentra a distancia $c/\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ desde el origen a lo largo de $(a, b)$ . Si $v$ es un vector (flecha) basado en $(0, 0)$ cuya cabeza descansa sobre $\ell$ entonces $f(v) = c$ ."

Answer 2

Por "el espacio de vectores geométricos en el plano" el autor sólo quiere decir $V = \mathbb R^2$ .

Los conjuntos de niveles de un mapa $f : V \to \mathbb R$ son los conjuntos $\{x \in V : f(x) = c\}$ para las constantes $c$ . En el caso de una línea $f$ los conjuntos de niveles son hiperplanos paralelos (líneas cuando $V = \mathbb R^2$ ).