Una forma fácil de demostrar que $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ es el anillo de enteros de $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]$

Question

Este parece ser uno de esos ejemplos complicados. Sólo conozco una prueba que es bastante complicada y se sigue localizando $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ a diferentes primos y luego mostrar que es un DVR. ¿Alguien conoce alguna prueba rápida y sencilla?

Answer 1

La respuesta corta es no, en el sentido de que es casi seguro que tenga que realizar comprobaciones separadas "una prima a la vez". Por lo demás, no hay realmente de hacer el caso cuadrático, tampoco. O bien hay que hacer un poco de trabajo pesado con condiciones mod-4 sobre los coeficientes de los polinomios mínimos, etc., o construir la teoría de los diferentes, etc., y empezar a golpear los problemas con martillos más grandes. Cuando pasas del caso cuadrático, el trabajo de rutina se vuelve cada vez más tedioso (/imposible), y sólo te quedan los martillos. Así que se necesitan lemas técnicos sobre cómo concluir que un subring de un anillo de enteros es realmente todo el asunto, y no creo que sea posible hacerlo sin considerar los diversos primos que podrían dividir el índice. Los apuntes de Keith Conrad que menciona Álvaro dan una solución (su Lemma 1) -- aquí hay otro enfoque ligeramente diferente. Por lo menos, evita trabajar explícitamente con anillos locales, aunque no evita el hecho de que filosóficamente estamos trabajando localmente de todos modos.

Dejemos que $\mathcal{O}$ sea el anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ . Tenemos $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]\subset\mathcal{O}$ y queremos demostrar la igualdad. Basta con demostrar que para cada primo $\mathfrak{p}$ de $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ tenemos $\mathcal{O}=\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]+\mathfrak{p}$ (esto es básicamente usar el Lemma de Nakayama para disfrazar una colección de cosas locales a comprobar con una colección de cosas globales a comprobar). Dado que para $\alpha:=\sqrt[3]{2}$ el polinomio mínimo de $\alpha$ es $f_\alpha(x)=x^3-2$ También sabemos que $$\mathcal{O}\subset \tfrac{1}{f'(\alpha)}\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]=\frac{1}{3\sqrt[3]{4}}\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}],$$ lo que hace trivial la comprobación de la igualdad deseada para todo menos para $p=2$ y $p=3$ . Ahora (esta parte es básicamente la misma que en las notas de Keith Conrad) observamos que basta con demostrar $p$ -Polinomios de Eisenstein $h_p(x)$ para un generador $x_p\in\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ para $p=2$ y $p=3$ . Pero estos son fáciles de conseguir: Para $p=2$ , toma $x_2=\sqrt[3]{2}$ y $h_2(x)=f_\alpha(x)$ y para $p=3$ , toma $x_3=\sqrt[3]{2}+1$ y $h_3(x)=f_\alpha(x-1)$ . Ta-da.

Answer 2

Es ineludible que hay que hacer un trabajo aquí. Los métodos esbozados por Cam McLeman, y seguramente lo que está en las notas de KConrad, y también en el Alg No Th de Lang, son probablemente el mínimo, porque es no siempre el caso de que el anillo de enteros en $\mathbb Q({\root 3 \of a})$ es $\mathbb Z({\root 3 \of a})$ para la plaza libre $a$ . Así como ${1+\sqrt{D}\over 2}$ es un número entero algebraico para $D=1\mod 2^2$ , ${1+{\root 3\of a}+{\root 3\of a^2}\over 3}$ es un número entero algebraico para $a=1\mod 3^2$ . Del mismo modo, con $3$ sustituido por $p$ primo, y así sucesivamente.

Answer 3

Anotaciones. Dejemos que $p$ sea un número primo. Sea $n$ sea un número entero. Si $n$ es divisible por $p$ pero no divisible por $p^2$ escribimos $p\mid\mid n$ .

Dejemos que $A$ sea un dominio Dedekind. Sea $P$ sea un ideal primo no nulo de $A$ . Sea $\alpha \in A$ . Si $\alpha$ es divisible por $P$ pero no divisible por $P^2$ escribimos $P\mid\mid\alpha$ .

Dejemos que $A$ sea un dominio integral que contenga $\mathbb{Z}$ . Sea $p$ sea un número primo. Sea $S = \mathbb{Z} - p\mathbb{Z}$ . $S$ es un subconjunto multiplicativo de $\mathbb{Z}$ . Denotamos por $A_p$ la localización de $A$ con respecto a $S$ .

Lema 1. Dejemos que $A$ sea un anillo de valoración discreto, $K$ su campo de fracciones. Sea $P$ sea el ideal máximo de $A$ . Sea $L$ sea una extensión separable finita de $K$ . Sea $B$ sea el cierre integral de $A$ en $L$ . Supongamos que $P$ está totalmente ramificado en $L$ . Sea $Q$ sea el único ideal primo de $B$ que se encuentra encima de $P$ . Sea $\pi$ sea un elemento de $B$ tal que $Q\mid\mid\pi$ . Entonces $B = A[\pi]$ .

Prueba. Dejemos que $n = [L : K]$ . Desde $PB = Q^n$ , $[B/Q : A/P] = 1$ . Por lo tanto, para cada $\alpha \in B$ existe $a_0 \in A$ tal que $\alpha \equiv a_0$ (mod $Q$ ). Consideremos la ecuación de congruencia $\pi x \equiv \alpha - a_0$ (mod $Q^2$ ). Dado que $(\pi, Q^2) = Q$ y $\alpha - a_0 \in Q$ existe una solución $x = a_1 \in A$ . Por lo tanto, $\alpha \equiv a_0 + a_1\pi$ (mod $Q^2$ ). Del mismo modo, existen $a_0, a_1,\dots, a_{n-1} \in A$ tal que $\alpha \equiv a_0 + a_1\pi +\cdots+ a_n\pi^{n-1}$ (mod $Q^n$ ). Dado que $PB = Q^n$ , $B = A[\pi] + PB$ . Sea $M = B/A[\pi]$ . $M$ es una entidad finitamente generada $A$ -módulo. Dado que $PM = (A[\pi] + PB)/A[\pi] = M$ , $M = 0$ por el lema de Nakayama. Por lo tanto, $B = A[\pi]$ . QED

Lema 2. Dejemos que $K$ sea un campo numérico algebraico. Sea $A$ sea el anillo de enteros algebraicos en $K$ . Sea $p$ sea un número primo. Supongamos que $p$ está totalmente ramificado en $K$ . Sea $P$ sea un ideal primo de $A$ que se encuentra encima de $p$ . Sea $\pi$ sea un elemento de $A$ tal que $P\mid\mid\pi$ . Sea $S = \mathbb{Z} - p\mathbb{Z}$ . Sea $\mathbb{Z}_p$ sea la localización de $\mathbb{Z}$ con respecto a $S$ . Sea $A_p$ sea la localización de $A$ con respecto a $S$ . Entonces $A_p = \mathbb{Z}_p[\pi]$ .

Prueba. Desde $A_p$ es integralmente cerrada e integral sobre $\mathbb{Z}_p$ , la afirmación se desprende del lema 1. QED

Lema 3. Dejemos que $p$ sea un número primo. Sea $f(X) = X^n + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots+ a_1X + a_0 \in \mathbb{Z}[X]$ sea un polinomio de Eisenstein en $p$ . Es decir, $p\mid a_i, i = 0,\dots,a_{n-1}$ y $p\mid\mid a_0$ . Sea $\theta$ sea una raíz de $f(X)$ . Sea $K = \mathbb{Q}(\theta)$ . Sea $A$ sea el anillo de enteros algebraicos en $K$ . Sea $P$ sea un ideal primo de $A$ que se encuentra encima de $p$ .

Entonces $p$ está totalmente ramificado en $K$ y $P\mid\mid\theta$ .

Prueba. Desde $f(X)$ es irreducible en $\mathbb{Q}[X]$ , $n = [K : \mathbb{Q}]$ . Sea $v_P$ sea la valoración discreta asociada a $P$ . Sea $e = v_P(p)$ . Desde $f(\theta) = 0$ y $p\mid a_i, i = 0,\dots,a_{n-1}$ , $\theta^n \equiv 0$ (mod $P$ ). Por lo tanto, $\theta\equiv 0$ (mod $P$ ). Dado que $p\mid a_i, a_i\theta^i \equiv 0$ (mod $P^{e+1}$ ) para $i = 1,\dots,a_{n-1}$ . Por lo tanto, $\theta^n + a_0 \equiv 0$ (mod $P^{e+1}$ ). Dado que $p\mid\mid a_0$ , $v_P(a_0) = e$ . Por lo tanto, $v_P(\theta^n) = e$ . Por otro lado, $v_P(\theta^n) \geq n$ . Por lo tanto, $e = n$ . Por lo tanto, $v_P(\theta) = 1$ y $p$ está totalmente ramificado en $K$ . QED

Lema 4. Dejemos que $n > 1$ sea un número entero. Sea $m$ sea un número entero. Sea $p$ sea un número primo tal que $p\mid\mid m$ . Sea $\theta$ sea una raíz de $X^n - m$ . Sea $K = \mathbb{Q}(\theta)$ . Sea $A$ sea el anillo de enteros algebraicos en $K$ . Entonces se cumplen las siguientes afirmaciones.

(1) $X^n - m$ es irreducible en $\mathbb{Q}[X]$ .

(2) $p$ está totalmente ramificado en $K$ .

(3) Que $P$ sea un ideal primo de $A$ que se encuentra encima de $p$ . Entonces $P\mid\mid\theta$ .

Prueba. $X^n - m$ es un polinomio de Eisenstein en $p$ . Por lo tanto, las afirmaciones se desprenden inmediatamente del lema 3. QED

Lema 5. Dejemos que $p$ sea un número primo. Sea $m$ sea un número entero. Sea $\theta$ sea una raíz de $X^p - m$ . Sea $K = \mathbb{Q}(\theta)$ . Sea $A$ sea el anillo de enteros algebraicos en $K$ . Supongamos que existe $a \in \mathbb{Z}$ tal que $p\mid\mid (m - a^p)$ . Entonces se cumplen las siguientes afirmaciones.

(1) $X^p - m$ es irreducible en $\mathbb{Q}[X]$ .

(2) $p$ está totalmente ramificado en $K$ .

(3) Que $P$ sea un ideal primo de $A$ que se encuentra encima de $p$ . Entonces $P\mid\mid (\theta - a)$ .

Prueba. $(X + a)^p - m$ es un polinomio de Eisenstein en $p$ . $\theta - a$ es una raíz de este polinomio. Por tanto, $\mathbb{Q}(\theta) = \mathbb{Q}(\theta - a)$ tiene grado $p$ en $\mathbb{Q}$ . Esto demuestra (1). (2) y (3) se deducen del lema 3. QED

Lema 6. Dejemos que $K$ sea un campo numérico algebraico. Sea $A$ sea una orden de $K$ . Supongamos que $A_p$ es integralmente cerrado para todos los números primos $p$ . Entonces $A$ es el anillo de enteros algebraicos en $K$ .

Prueba. Dejemos que $B$ sea el anillo de enteros algebraicos en $K$ . Sea $p$ sea un número primo. Como $B$ es integral sobre $A$ , $B_p$ es integral sobre $A_p$ . Desde $A_p$ es integralmente cerrado y $K$ es el campo de fracciones de $A_p$ , $B_p = A_p$ .
Dejemos que $I$ = { $a \in \mathbb{Z}; aB \subset A$ }. $I$ es un ideal de $\mathbb{Z}$ . Supongamos que $I \neq \mathbb{Z}$ . Existe un número primo $p$ tal que $I \subset p\mathbb{Z}$ . Desde $B \subset A_p$ y $B$ es un finito $\mathbb{Z}$ -existe un módulo $s \in \mathbb{Z} - p\mathbb{Z}$ tal que $sB \subset A$ . Por lo tanto, $s \in I$ . Esto es una contradicción. Por lo tanto, $I = \mathbb{Z}$ . Por lo tanto, $B = A$ . QED

Propuesta. Dejemos que $p, q$ sean números primos distintos. Sea $\theta$ sea una raíz de $X^p - q$ . Sea $K = \mathbb{Q}(\theta)$ . Supongamos que existe $a \in \mathbb{Z}$ tal que $p\mid\mid(q - a^p)$ .

Entonces $\mathbb{Z}[\theta]$ es el anillo de enteros algebraicos en $K$ .

Prueba. Dejemos que $B$ sea el anillo de enteros algebraicos en $K$ . Sea $A = \mathbb{Z}[\theta]$ . Sea $f(X) = X^p - q$ . Desde $f(X)$ es Eisenstein en $q$ es irreducible en $\mathbb{Q}[X]$ . Sea $d$ sea el discriminante de $f(X)$ . $|N_{K/\mathbb{Q}}(\theta)| = |q|$ . Por lo tanto, $|d| = |N_{K/\mathbb{Q}}(f'(\theta))| = |N_{K/\mathbb{Q}}(p\theta^{p-1})| = p^p q^{p-1}$ .

Dejemos que $r$ sea un número primo distinto de $p$ , $q$ . Desde $\mid d\mid = p^p q^{p-1}$ , $r$ no divide $d$ . Sea $R$ sea un ideal primo de $A$ que se encuentra encima de $r$ . Por este , $A_R$ es un anillo de valoración discreto. Por lo tanto, $A_r$ es integralmente cerrado. Por lo tanto, $A_r = B_r$ .

Por otro lado, por el Lemma 4 y el Lemma 2, $B_q = \mathbb{Z}_q[\theta] = A_q$ . Por el lema 5 y el lema 2, $B_p = \mathbb{Z}_p[\theta - a] = \mathbb{Z}_p[\theta] = A_p$ .

Por lo tanto, hemos terminado por el lema 6. QED

Corolario. Dejemos que $\theta$ sea una raíz de $X^3 - 2$ . Sea $K = \mathbb{Q}(\theta)$ . Entonces $\mathbb{Z}[\theta]$ es el anillo de enteros algebraicos en $K$ .

Prueba: $3\mid\mid(2 - 2^3)$ . QED

Answer 4

Lo siguiente es sencillo, pero quizás no tan rápido como te gustaría. Espero haberlo escrito de tal manera que la generalización a otros ejemplos no sea difícil. Dejemos que $\alpha = \sqrt[3]3$ y que $\mathcal O$ sea el anillo de enteros en $\mathbf Q[\alpha]$ . Recordemos que $$\DeclareMathOperator\disc{disc} \newcommand{\bZ}{\mathbf{Z}}\disc(\bZ[\alpha]) = (\mathcal O : \bZ[\alpha])^2\disc\mathcal(O).$$ El discriminante de $\bZ[\alpha]$ es $-2^23^3$ . Así que ciertamente $6\mathcal O \subset \bZ[\alpha]$ y por lo tanto puedo escribir un $x \in \mathcal O$ como $$x = \frac16(x_0 + x_1\alpha + x_2\alpha^2)$$ para algunos $x_0, x_1, x_2 \in \bZ$ . Si $x$ no está en $\bZ[\alpha]$ entonces uno de estos, llámalo $x_i$ no es divisible por $6$ por lo que no es divisible por $p$ , donde $p$ es $2$ o $3$ . Si multiplicamos por el número entero $6/p$ entonces el coeficiente de $\alpha^i$ es la fracción reducida $x_i/p$ .

Mediante algunas otras manipulaciones sencillas, podemos obtener un elemento de $\mathcal O$ no en $\bZ[\alpha]$ , $$\frac1p(y_0 + y_1\alpha + y_2\alpha^2)$$ en el que $y_i = 1$ y todos $y_j$ satisfacer $0 \leq y_j < p$ . Desde $p$ es pequeño no hay tantas combinaciones que comprobar, y si he sumado correctamente entonces la traza y la norma bastan para demostrar que ninguno de estos puede estar realmente en $\mathcal O$ .

Añadido. Iba a añadir algunas observaciones más en respuesta a los comentarios del profesor Emerton, pero me encontré con estas buenas notas de por Matt Baker que explican los cálculos locales de la forma más sencilla posible. Véase allí la Proposición 2.9.

Answer 5

La mayoría de los libros de texto introductorios encuentran los enteros en campos cuadráticos y quizás en campos ciclotómicos, y lo dejan así. Uno que presta mucha atención a los campos cúbicos es Alaca y Williams, Introductory Algebraic Number Theory. ${\bf Q}(\root3\of2)$ se hace como Ejemplo 7.1.6, a partir de la página 153 (¡y llenando tres páginas!). Muchos otros ejemplos se hacen en detalle, y la fórmula general de Dedekind para campos cúbicos puros se da como Teorema 7.3.2 en la página 176 (¡con la prueba dejada al lector!).