Área máxima de un triángulo

Question

[Editar: Tenía un par de enlaces al problema original, pero se han ido por el camino de todas las cosas].

He intentado resolver este problema:

Dadas tres circunferencias concéntricas de radios 1, 2 y 3, respectivamente, halla el área máxima de un triángulo que tenga un vértice en cada una de las tres circunferencias.

He aquí una solución parcial (no es mía) que he editado un poco para mayor claridad. Tenga en cuenta que $A=1$ , $B=2$ y $C=3$ :

Sean los radios A,B y C los ángulos a,b y c respectivamente. Posicionar el radio A sobre el eje x positivo en el ángulo $a=0$ (sin pérdida de generalidad). A partir de la ecuación del área del triángulo
(1) área = $\frac12 BC \sin(b-c) + \frac12 CA \sin(c) + \frac12 AB \sin (2\pi -b)$ .
Tome el parcial total de área en relación con $b$ y $c$ e igual a $0$ . Esto da
(2) $C \cos c = B \cos b$ .
Además, a partir de la condición (2) los radios extendidos son perpendiculares al lado del triángulo. A continuación el valor del ángulo $b$ está determinada. Un poco de geometría muestra que $b$ es $225^o$ de $A$ ( $-45^o$ en el tercer cuadrante). A partir de (2) ángulo $c$ se obtiene.

Estoy contento con la expresión del área del triángulo, y también con la diferenciación y derivación de $C\cos c = B\cos b$ .
Pero no veo por qué los radios extendidos son perpendiculares a los lados del triángulo, lo que hace que el centro de los círculos concéntricos sea el ortocentro del triángulo. Y tampoco veo la "geometría de fantasía" que da el ángulo $b$ ni, de hecho, por qué ángulo $b$ es constante.
¿Podría alguien explicar qué está pasando aquí?

Answer 1

Supongamos que el centro de los círculos no se encuentra en una de las altitudes de $\triangle ABC$ (como se muestra en gris). Entonces, dejando la base de esa altitud sola y moviendo esa altitud al centro, aumentamos la altitud, y por tanto el área del triángulo (como se muestra en negro).

$\hspace{3.5cm}$

Por lo tanto, el ortocentro del triángulo debe coincidir con el centro de los círculos.

---

Considere el siguiente diagrama, en el que $O$ es a la vez el ortocentro de $\triangle ABC$ y el centro de los círculos:

$\hspace{3.5cm}$

$\triangle AOF$ es similar a $\triangle COD$ así, $|\overline{OC}||\overline{OF}|=|\overline{OA}||\overline{OD}|$ . Además, $\triangle AOE$ es similar a $\triangle BOD$ así, $|\overline{OA}||\overline{OD}|=|\overline{OB}||\overline{OE}|$ . Por lo tanto, defina $$ p=|\overline{OC}||\overline{OF}|=|\overline{OA}||\overline{OD}|=|\overline{OB}||\overline{OE}|\tag{1} $$ y $$ a=|\overline{OA}|\quad b=|\overline{OB}|\quad c=|\overline{OC}|\tag{2} $$ Con estas definiciones, obtenemos $$ |\overline{OD}|=p/a\quad|\overline{OE}|=p/b\quad|\overline{OF}|=p/c\tag{3} $$ Tenga en cuenta que $$ \frac{|\triangle AOB|}{|\triangle ABC|}=\frac{|\overline{OF}|}{|\overline{OF}|+|\overline{OC}|}=\frac{p}{p+c^2}\tag{4} $$ $$ \frac{|\triangle BOC|}{|\triangle ABC|}=\frac{|\overline{OD}|}{|\overline{OD}|+|\overline{OA}|}=\frac{p}{p+a^2}\tag{5} $$ $$ \frac{|\triangle COA|}{|\triangle ABC|}=\frac{|\overline{OE}|}{|\overline{OE}|+|\overline{OB}|}=\frac{p}{p+b^2}\tag{6} $$ y porque $|\triangle AOB|+|\triangle BOC|+|\triangle COA|=|\triangle ABC|$ , $(4)-(6)$ rendimiento $$ \frac{p}{p+a^2}+\frac{p}{p+b^2}+\frac{p}{p+c^2}=1\tag{7} $$ Utilizando $a=1$ , $b=2$ y $c=3$ podemos resolver $(7)$ para obtener $p=1.458757077431284$ .

En cuanto a la zona de $\triangle AOB$ de dos formas diferentes, obtenemos $$ \begin{align} 4|\triangle AOB|^2=|\overline{AB}|^2|\overline{OF}|^2&=(a^2+b^2-2ab\cos(\angle AOB))(p/c)^2\\ &=a^2b^2\sin^2(\angle AOB)\\ &=a^2b^2(1-\cos^2(\angle AOB))\tag{8} \end{align} $$ Resolver $(8)$ para $\cos(\angle AOB)$ utilizando la fórmula cuadrática, y de forma similar para los otros ángulos, se obtiene $$ \cos(\angle AOB)=\frac{p^2-\sqrt{(p^2-c^2a^2)(p^2-b^2c^2)}}{abc^2}\tag{9} $$ $$ \cos(\angle BOC)=\frac{p^2-\sqrt{(p^2-a^2b^2)(p^2-c^2a^2)}}{a^2bc}\tag{10} $$ $$ \cos(\angle COA)=\frac{p^2-\sqrt{(p^2-a^2b^2)(p^2-b^2c^2)}}{ab^2c}\tag{11} $$ Utilizando las ecuaciones anteriores, obtenemos

$$\angle BOC=104.071123766006501^\circ$$ $$|\triangle BOC|=2.909984011512956$$

$$\angle COA=119.094556197774592^\circ$$ $$|\triangle COA|=1.310727640381874$$

$$\angle AOB=136.834320036218908^\circ$$ $$|\triangle AOB|=0.684110332666474$$ Por lo tanto, obtenemos $$|\triangle ABC|=4.904821984561304$$

Answer 2

Puntos fijos $A$ y $B$ y maximizar el área variando el punto $C$ . Esto significa maximizar la altura del triángulo con base $AB$ .

Con $C$ en el punto máximo trazar una línea paralela a $AB$ a través de $C$ . Si no es tangente, entonces hay un punto en el círculo exterior que da un área mayor - contradicción. Por tanto, es tangente y la perpendicular a $AB$ a través de $C$ es perpendicular a la tangente en el punto que toca al círculo (la tangente es paralela a $AB$ ), y por tanto pasa por el centro $O$ .

Answer 3

Algunos cálculos algebraicos

Los aceptados respuesta de robjohn explica muy bien por qué el origen tiene que ser el ortocentro. Quiero sugerir un enfoque alternativo para el cálculo que sigue. Para ello, quiero utilizar coordenadas para los puntos en cuestión:

$$O=(0,0)\qquad A=(1,0)\qquad B=(x,b)\qquad C=(x,c)$$

El uso del mismo $x$ coordenada para ambos $B$ y $C$ ya garantiza que $OA$ es perpendicular a $BC$ . Tienes tres condiciones para determinar estas tres variables:

\begin{align*} \lVert B\rVert&=2 & x^2+b^2 &= 2^2 \\ \lVert C\rVert&=3 & x^2+c^2 &= 3^2 \\ \langle C-A,B\rangle&=0 & x^2+bc-x &= 0 \end{align*}

El producto escalar expresa la condición $(C-A)\perp B$ mientras que la tercera condición $(C-B)\perp A$ ya está implícita en estas condiciones (puesto que las altitudes de cualquier triángulo confluyen en un único punto).

Puede introduce esto en Wolfram Alpha para obtener aproximaciones numéricas de las coordenadas pertinentes. Pero también puedes eliminar variables, por ejemplo utilizando resultantes, para obtener polinomios que describan tus soluciones:

\begin{align*} x^3 - 7x^2 + 18 &= 0 \\ b^6 + 37b^4 - 92b^2 + 36 &= 0 \\ c^6 + 22c^4 - 387c^2 + 1296 &= 0 \end{align*}

No hay solución posible con regla y compás

Se trata de polinomios cúbicos irreducibles en $x,b^2,c^2$ resp. por lo que no pueden ser el resultado de una construcción con regla y compás. Toda construcción con regla y compás que parta de coordenadas enteras (como los puntos $O,A$ y radios enteros) sólo pueden dar lugar a coordenadas que sean sumas, diferencias, productos, cocientes o raíces cuadradas de otras coordenadas construibles. Las raíces cúbicas no son posibles.

Así que el principal resultado de esta investigación es el siguiente:
El triángulo de área máxima no se puede construir con regla y compás.

Cualquiera que busque una construcción de "geometría extravagante" para lograr esto puede parar ahora, a menos que esté buscando a sabiendas sólo una buena aproximación.

El valor del área máxima

Haciendo un poco de cálculo sobre las coorinadas anteriores usando números algebraicos en sage se muestra que el área $a$ satisface la ecuación

$$16a^6-392a^4+133a^2+900=0$$

por lo que de nuevo es un polinomio cúbico en $a^2$ . Introduciendo ese polinomio en WA (sorprendentemente sólo al omitir comandos como "resolver") obtengo una expresión fea pero exacta para la solución en cuestión:

$$a=\frac12\sqrt{\frac13\left(98+ \frac{9205}{\sqrt[3]{833939+7974i\sqrt{1329}}}+ \sqrt[3]{833939+7974i\sqrt{1329}}\right)}$$

Esto es interesante porque el post al que se refiere afirma una fórmula mucho más simple, pero que se basaba en la incorrecta $45°$ suposición que robjohn ya ha refutado. El último mensaje por ferret Sin embargo, el resultado es el mismo que calculé yo. Así que ellos también acabaron encontrando una solución exacta.

Answer 4

Que el centro sea $O$ . Sea el pie de perpendicular de $B,C$ a $AO$ sea $P,Q$ . Entonces $B \cos b = B \cos \angle AOB = - B \cos \angle POB = - BP$ de forma similar $C \cos c = -CQ$ lo que significa que $P=Q$ y, por tanto $AO \perp BC$ . (Nótese que esta demostración no es válida si P y Q se encuentran en lados opuestos de O, pero creo que ese caso no debería ser demasiado difícil)

Answer 5

He aquí un enfoque, probablemente lejos de ser el óptimo.

Sea $O$ sea el centro de los tres círculos.

En primer lugar, es fácil ver que si $C'$ es para que $COC'$ es un diámetro, del triángulo $ABC$ y $ABC'$ el que contiene $O$ el interior tiene más superficie. Así que WLOG podemos suponer $O$ está dentro $ABC$ .

Entonces

\begin{equation} \begin{split} Area(ABC)&=Area(ABO)+Area(BOC)+Area(AOC)\\ &=\frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin(AOB)+ \frac{1}{2} AO \cdot CO \cdot \sin(AOC)+\frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin(BOC)\\ &= \sin(AOB)+\frac{3}{2} \sin(AOC)+ 3 \sin(BOC) \end{split} \end{equation}

Por lo tanto, el problema puede reducirse a encontrar el máximo de la función $f(x,y,z)=\sin(x)+\frac{3}{2} \sin(y)+3 \sin (z)$ cuando $x,y,z >0$ y $x+y+z=2\pi$ . Los multiplicadores de Lagrange deberían terminarlo fácilmente.