Norma del operador de integración

Question

Considere el operador $A:C([a,b])\to \mathbb R$ con $$Af = \int_{[a,b]} f(x)g(x) \,dx$$ donde $g\in C([a,b])$ es fijo. El espacio $C([a,b])$ está equipado con el $\infty$ -norma aquí.

Quiero demostrar que $\|A\| = \int_{[a,b]} |g(x)| \, dx$ .

Ya he mostrado " $\leq$ " pero estoy atascado en la desigualdad " $\geq$ " la desigualdad.

El sueño sería definir $f(x)= |g(x)| / g(x)$ y luego deducir que (ya que $\|f\|_\infty =1$ ), tenemos $\|A \| \geq |Af| = \int_{[a,b]} |g(x)| \, dx$ . Pero, por supuesto, la cuestión es que este $f$ puede dividir por $0$ . Así que intenté restringir al subconjunto $M_\epsilon = \{x \in [a,b] : g(x) \geq \epsilon\}$ . Podemos definir $f_\epsilon = |g(x)| / g(x)$ sobre este subconjunto y luego extenderlo a una función sobre todo el $[a,b]$ por el teorema de extensión de Tietze. Llamamos a la extensión $f$ .

Entonces tenemos $$\|A\| \geq |Af| = \left|\int_{M_\epsilon} |g(x)| \, dx + \int_{[a,b]\setminus M_\epsilon} f(x) g(x) \, dx \right| $$

¿Cómo podemos proceder?

Answer 1

$$ \Vert A\Vert = \sup_{f\neq 0}\frac{|Af|}{\Vert f \Vert} = \sup_{f\neq 0}\frac{\left|\int f(x)g(x)~dx\right|}{\sup |f(x)|} = \sup_{f\neq 0} \left|\int \frac{f(x)}{\sup|f(x)|}g(x)~dx\right|.$$

Desde $\left|\frac{f(x)}{\sup|f(x)|}\right|\leq 1$ También tenemos que la cantidad del extremo derecho de la que tomamos el supremum (a la que me referiré como $Q[f]$ ) es menor o igual que

$$\left|\int g(x)~dx\right|\leq \int |g(x)|~dx.$$

Observe como lo ha hecho, que la elección de $f^\dagger(x) = \operatorname{sgn}(g(x))$ da la igualdad $$ Q[f^\dagger]=\left|\int \frac{f^\dagger(x)}{\sup|f^\dagger(x)|}g(x)~dx\right| = \int |g(x)|~dx,$$ sin embargo, la función de signo no es continua, por lo que esta elección de $f^\dagger$ puede no serlo. En su lugar, formamos la secuencia de funciones $f_n(x) = \arctan(ng(x))$ que converge puntualmente a nuestro $f^\dagger$ y están claramente dominadas por una función integrable (digamos $h(x) = 1$ ). Así que el teorema de convergencia dominada nos permite decir que

$$ \lim_{n\to\infty}Q[f_n]=\lim_{n\to\infty}\left|\int \frac{f_n(x)}{\sup |f_n(x)|}g(x)~dx \right|= \int |g(x)|~dx. $$

En otras palabras, el RHS es un punto límite de la imagen en $\mathbb{R}$ de $C([a,b])$ bajo la acción de $Q$ . Como sabemos que $$Q[f]\leq \int |g(x)|~dx,$$ concluimos que es el supremum.