¿Son los racionales un conjunto cerrado o abierto en $\mathbb{R}$?

Question

Tengo la sensación de que ni están cerrados ni abiertos, ya que el $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ tampoco puede ser abierto ni cerrado...

Answer 1

En la topología usual de $\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}$ no es ni abierto ni cerrado.

El interior de $\mathbb{Q}$ es vacío (cualquier intervalo no vacío contiene irracionales, por lo que ningún conjunto abierto no vacío puede estar contenido en $\mathbb{Q$}). Dado que $\mathbb{Q}$ no es igual a su interior, $\mathbb{Q}$ no es abierto.

La clausura de $\mathbb{Q}$ es todo $\mathbb{R}$: cada número real es el límite de una secuencia de racionales, por lo que cada número real está en la clausura de $\mathbb{Q}$. Dado que $\mathbb{Q}$ no es igual a su clausura, no es cerrado.

Naturalmente, dado que $\mathbb{Q}$ no es abierto, su complemento no es cerrado; dado que $\mathbb{Q}$ no es cerrado, su complemento no es abierto.

Pero esto es en la topología usual. $\mathbb{R}$ puede tener muchas topologías, y es ciertamente posible que $\mathbb{Q}$ sea abierto (o cerrado) en algunas de ellas. Por ejemplo, en la topología discreta, donde cada subconjunto de $\mathbb{R}$ es tanto abierto como cerrado, $\mathbb{Q}$ es tanto abierto como cerrado.

Answer 2

Si los racionales fueran un conjunto abierto, entonces cada racional estaría en algún intervalo abierto que contenga solo racionales. Por lo tanto, $\mathbb{Q}$ no es abierto.

Si $\mathbb{Q}$ fuera cerrado, entonces su complemento sería abierto. Entonces cada número irracional estaría en algún intervalo que contiene solo números irracionales. Tampoco sucede eso. Este es más difícil de probar: demostrar que cada intervalo en la recta contiene algunos racionales depende del hecho de que el campo ordenado $\mathbb{R}$ es arquimediano.

Answer 3

Ninguna. Su interior está vacío y su cierre es toda la línea.

Answer 4

No están ni abiertos ni cerrados. Ten en cuenta que no pueden estar cerrados ya que la clausura de $\mathbb{Q}$ es $\mathbb{R}\ne \mathbb{Q}$, pero tampoco pueden estar abiertos ya que lo mismo ocurre con su complemento (como señalaste).

Answer 5

Recuerda que en espacios métricos (aquellos con noción de distancia), podemos verificar si un conjunto $A$ es cerrado comprobando que los límites de los elementos en $A$ se encuentren en $A$ (es decir, para cualquier sucesión convergente $(a_i)_{i\in\mathbb{N}}$, tal que $a_i\in A$, entonces $\lim_{i\to +\infty} a_i \in A$).

$\mathbb{R}$ con la distancia usual ($d(x,y)=|x-y|$) es probablemente el ejemplo típico de un espacio métrico.

Con eso en mente, si $\mathbb{Q}$ fuera cerrado, entonces cualquier sucesión de racionales convergería en racionales, lo cual sabemos que es falso; por ejemplo:

$$(1+1/n)^n \to e.$$

Por otro lado, si $\mathbb{Q}$ fuera abierto, entonces su complemento ($\mathbb{I}$, los irracionales) sería cerrado, lo cual nuevamente podemos ver fácilmente que no es cierto. (Por ejemplo, toma cualquier sucesión de racionales que converja a un irracional y resta de cada elemento en la sucesión este irracional: ¿dónde convergerá?)

Pero aunque $\mathbb{Q}$ no es ni abierto ni cerrado, no es tan complicado topológicamente hablando. $\mathbb{Q}$ es lo que llamamos un conjunto $F_\sigma$ ($F$ de fermé (cerrado en francés), y $\sigma$ de suma (significado de unión)). Estos son conjuntos que son uniones contables de conjuntos cerrados. Un montón de ejemplos naturales de conjuntos son $F_\sigma$, como los puntos de discontinuidad de una función. La clase "dual" se conoce como $G_\delta$, las intersecciones contables de conjuntos abiertos.