¿Existe una notación para el cardenal más pequeño inaccesible? ¿Es siquiera coherente el concepto?
He leído en Wiki que bajo ciertos supuestos incluso Aleph0 es fuertemente inaccesible. Me refiero al tipo de inaccesibilidad que se obtiene si se comienza con Aleph0 y no se puede obtener el cardinal a partir de la aplicación repetida del conjunto de potencias y la unión.
No existe una notación para el cardenal más pequeño inaccesible. De hecho, existe una notación "acordada" para cualquier propiedad cardinal grande. Uno puede abreviar cosas como la propiedad del árbol, o así, pero esas son normalmente propiedades que pueden ocurrir en cardinales pequeños.
Solemos decir algo como,
Dejemos que $\kappa$ ser el cardenal menos inaccesible...
El concepto, por supuesto, es muy coherente. Toda clase no vacía de ordinales tiene un elemento mínimo. Por lo tanto, si la clase de cardinales inaccesibles es no vacía, tiene un elemento menor.
En cuanto a la cuestión de $\aleph_0$ , los cardinales grandes suelen llamarse "axiomas fuertes del infinito". La razón es que se necesita el axioma del infinito para demostrar que $\aleph_0$ existe, y se necesitan axiomas más fuertes para demostrar la existencia de cardinales inaccesibles, débilmente compactos, medibles, Woodin, supercompactos, enormes, etc.
Sin embargo, al decir cardinales inaccesibles casi siempre incluimos "incontables" en la definición, como para evitar el $\aleph_0$ caso.
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