Encuentra la serie de Maclaurin de la función $f(x) = 7 x^2 \sin 2 x$

Question

Encuentra la serie de Maclaurin de la función

$f(x) = 7 x^2 \sin 2 x$

$(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n) $

Eso es lo que se da en la pregunta, tenemos que rellenar $5$ espacios en blanco $c_3$ a $c_7$

Los deberes están pasados, así que tengo las respuestas $(14, 0, -9.333, 0, 1.86667)$ pero no estoy seguro de cómo hacerlo... ¿Puedo utilizar la expansión que conocemos para $\sin x$ ?

( $x- x^3/3! + x^5/5!... $ etc.). Si es así... ¿cómo exactamente?

Pregunta al margen: Si fuera sólo $\sin 2x$ Yo reemplazaría todos los $x$ en la expansión con un $2x$ en su lugar, ¿correcto?

Estoy desesperado por ayuda, tengo un examen mañana y estoy flipando un poco...

Gracias.

Answer 1

A veces se puede encontrar la serie de Maclaurin de una combinación de funciones "bonitas" mediante simples manipulaciones. Tenga en cuenta que $\sin t$ tiene la serie Maclaurin $$t-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}-\frac{t^7}{7!}+\cdots.$$ Para la serie Maclaurin de $\sin(2x)$ , reemplazar $t$ en todas partes por $2x$ y simplificar un poco. Obtenemos $$2x -\frac{2^3}{3!}x^3+\frac{2^5}{5!}x^5 -\frac{2^7}{7!}x^7+\cdots.$$ Para encontrar la serie de $(7x^2)\sin(2x)$ , multiplicar término por término por $7x^2$ . Obtenemos $$(7)(2)x^3 -(7)\cdot\frac{2^3}{3!}x^5+(7)\cdot\frac{2^5}{5!}x^7 -(7)\cdot\frac{2^7}{7!}x^9+\cdots.$$ Así, $c_0=c_1=c_2=0$ . Tenemos $c_3=(2)(7)$ y $c_4=0$ . Tenemos $c_5=-(7)\cdot\frac{2^3}{3!}$ . y así sucesivamente.