I) teoría de la Representación para el restringido$^1$ grupo de Lorentz $SO^+(1,3;\mathbb{R})\cong SL(2,\mathbb{C})/\mathbb{Z}_2$ es bastante amplio tema cubierto en muchos libros de texto, véase, por ejemplo, Ref. 1 para más información.
Una representación irreducible
$$\etiqueta{1} (j_L,j_R)~=~j_L\otimes_{\mathbb{C}} j_R, \qquad
j_L, j_R~\~ \frac{1}{2}\mathbb{N}_0,$$
es un producto tensor de $V=V_L\otimes_{\mathbb{C}} V_R$ de dos complejos de espacios vectoriales $V_L$$V_R$, de la compleja dimensión de $2j_L+1$$2j_R+1$, respectivamente. El producto tensor $V$ es de nuevo un espacio vectorial complejo y tiene complejo de dimensión $(2j_L+1)(2j_R+1)$. Ver también este Phys.SE post.
Ejemplos:
$(j_L,j_R)=(0,0)$. Esta es la trivial/singlete representación. A continuación, el espacio vectorial es $V\cong\mathbb{C}$. Tenga en cuenta que la representación trivial $(0,0)$ es la identidad multiplicativa para el producto tensor $\otimes_{\mathbb{C}}$, es decir, $$\tag{2}\forall V:~~(0,0)\otimes_{\mathbb{C}}V~\cong~ V~\cong~ V\otimes_{\mathbb{C}}(0,0).$ $
$(j_L,j_R)=(\frac{1}{2},0)$. Esto es conocido como el zurdo Weyl-spinor representación. A continuación, el espacio vectorial es $V\cong\mathbb{C}^2$. Es fundamental la definición de la representación de $SL(2,\mathbb{C})$.
$(j_L,j_R)=(0,\frac{1}{2})$. Esto es conocido como la mano derecha Weyl-spinor representación. Es el complejo conjugado de la representación de los zurdos Weyl-spinor representación.
Una representación irreducible (1) puede ser escrita con la ayuda de la simétrico producto tensor $\odot$ de los zurdos y los diestros Weyl-spinor representación
$$(j_L,j_R)~=~(\frac{1}{2},0)^{\odot 2j_L} \otimes (0,\frac{1}{2})^{\odot 2j_R}$$
$$~:=~\underbrace{\left\{(\frac{1}{2},0)\odot\ldots\odot(\frac{1}{2},0)\right\}}_{2j_L\text{ symmetrized factors}} \otimes \underbrace{\left\{(0,\frac{1}{2})\odot\ldots\odot(0,\frac{1}{2})\right\}}_{2j_R\text{ symmetrized factors}} .\tag{3} $$
Aquí $\otimes$ indica el estándar de la onu (simétrico) producto tensor.
II) Complejización. El restringido grupo de Lorentz $SO^+(1,3;\mathbb{R})$ es, obviamente, un subgrupo de la complexified$^2$ grupo de Lorentz $SO(3,1;\mathbb{C})$. Uno puede mostrar que el doble de la cubierta de la complexified grupo de Lorentz $SO(3,1;\mathbb{C})$ es isomorfo a la directa o Cartesiano grupo de productos
$$\tag{4} G~=~SL(2,\mathbb{C})_L\times SL(2,\mathbb{C})_R,$$
cf. por ejemplo, Ref. 1 y esta Phys.SE post.
En más detalle, la representación irreducible
$$\tag{5} \rho~=~\rho_L\otimes \rho_R:G\to GL(V,\mathbb{C})$$
en (1) el producto de la Mentira de grupo (4) está dada como
$$\tag{6} \rho(g_L,g_R)(\sum_iv^i_L\otimes v^i_R)~=~\sum_i\rho_L(g_L)v^i_L\otimes\rho_R(g_R)v^i_R ,$$
donde
$$\tag{7} \rho_{L/R}:SL(2,\mathbb{C})\to GL(V_{L/R},\mathbb{C})$$
son representaciones irreducibles de $SL(2,\mathbb{C})$ de las dimensiones complejas $2j_{L/R}+1$.
Referencias:
- I. L. Buchbinder y S. M. Kuzenko, Ideas y Métodos de la Supersimetría y la Supergravedad - O un Paseo a Través de Superspace, 1998; Capítulo 1.
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$^1$ Déjenos aquí por simplicidad consideremos el restringido grupo de Lorentz $SO^+(1,3;\mathbb{R})$ más que el grupo de Lorentz $O(3,1;\mathbb{R})$.
$^2$ Resulta que relativistas teorías físicas a menudo tienen pertinentes complejo de la analítica de las propiedades.
