¿Por qué introducir el $p$ -¿número de radicales?

Question

Mi intuición actual sobre los números p-ádicos proviene de los tres hechos siguientes:

1. Puede describir $Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ con el $Gal(\overline{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p)$ grupos.
2. El lema de Hensel
3. Encontramos que los enteros p-ádicos son vecindades formales de puntos cerrados en $\mathbb{Z}$ por lo que naturalmente aparecen en la teoría de la deformación de los objetos aritméticos (Esquemas sobre $\mathbb{Z}$ )

¿Cuáles son las otras razones para considerar los números enteros p-ádicos?

Answer 1

Por un lado, el $p$ -los números arábigos son objetos de estudio extremadamente naturales: por Teorema de Ostrowski todo valor absoluto no trivial en $\mathbf Q$ equivale al valor absoluto habitual o al $p$ -valor absoluto de algunos $p$ . Así que el $p$ -Los números arábigos, junto con los números reales, dan todas las posibles terminaciones de $\mathbf Q$ .

Por otro lado, el $p$ -Los números de los radicales también son extremadamente útiles, incluso si sólo te preocupas por $\mathbf Q$ . Un gran ejemplo de ello es el Principio de Hasse que dice (por ejemplo) que una ecuación cuadrática homogénea tiene una solución no trivial sobre $\mathbf Q$ si y sólo si lo hace sobre $\mathbf R$ y $\mathbf Q_p$ para cada $p$ Y esta última pregunta resulta fácil de responder.

Answer 2

Hace unos 40 años, un compañero que se dedicaba a las Álgebras C-estrella se burlaba de mí diciendo que nada de mi Teoría de Números encontraría nunca aplicaciones en el "mundo real". Le dije que esperara y viera, que algún día habría aplicaciones cruciales de $p$ -números arcaicos en Física. Estaba bromeando, pero aparentemente hay una búsqueda seria de $p$ -Mecánica Cuántica Adicta. Véase aquí .

Answer 3

Citando a Wikipedia El teorema de Skolem-Mahler-Lech afirma que si una secuencia de números es generada por una relación de recurrencia lineal, entonces, con un número finito de excepciones, las posiciones en las que la secuencia es cero forman un patrón que se repite regularmente. Más concretamente, este conjunto de posiciones puede descomponerse en la unión de un conjunto finito y de un número finito de progresiones aritméticas completas.... Sus pruebas utilizan el análisis p-ádico".