Si $A$ & $B$ son $4\times 4$ matrices con $\det(A)=-5$ & $\det(B)=10$ entonces evalúa...

Question

Si $A$ & $B$ son $4\times 4$ matrices con $\det(A)=-5 $ & $\det(B)=10$ entonces evalúa...

a) $\det\left(A+\operatorname{adj}\left(A^{-1}\right)\right)$

b) $\det(A+B)$

Sí, son signos de adición. No estaría preguntando si fuera una multiplicación. La respuesta para a) es $-256/125.$

Answer 1

Usted tiene de wikipedia o tal vez su libro en algún lugar derivado que: $${\bf A}adj({\bf A}) = det({\bf A}){\bf I}$$ lo que también es cierto para la matriz inversa si existe: $${\bf A}^{-1}adj({\bf A}^{-1}) = det({\bf A}^{-1}){\bf I}$$

Multiplicar ambos lados $\bf A$ da $adj({\bf A}^{-1}) = det({\bf A}^{-1}){\bf A}$

Conecta esa expresión adj y tal vez puedas seguir desde ahí.

Answer 2

Respuesta a a):

Sostiene que: $$ A \cdot \operatorname{adj(A)} = \det (A) \cdot I .$$

Así, tenemos: $$ A^{-1}\cdot \operatorname{adj}\left(A^{-1}\right) = \det \left(A^{-1}\right) \cdot I.$$

Sin embargo, $\det\left(A^{-1}\right) = -\frac{1}{5}$ y hay que aplicar la identidad $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A,$ donde $A$ es un $n\times n$ matriz y $\lambda \in \mathbb R.$

Answer 3

Para la parte (b) es fácil demostrar que la respuesta no está determinada. Por ejemplo, dejemos que $A=diag(-5,1,1,1)$ , $B_1=diag(10,1,1,1)$ y $B_2=diag(10,1,-1,-1)$ . Entonces $\det A=-5$ , $\det B_1=10=\det B_2$ pero $\det(A+B_1)=40$ , mientras que $\det(A+B_2)=0$ .