Dejemos que $n\geq2$ sea un número entero. Encontrar todos los conjuntos $\{a_1,\dots,a_n\}$ de números reales con la propiedad de que para todo $k \in \{1,\dots,n\}$ : $$a_k^2 = \frac{a_1+\ldots+a_n - a_k}{n-1} .$$ Es decir, que el cuadrado de cada elemento es igual a la media de los demás $n-1$ elementos. No tengo ni idea de cómo solucionar este problema, así que se agradece cualquier ayuda. Gracias.
Respuesta
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Tenemos $$a_i^2=\frac{a_1+\cdots+a_n}{n-1}-\frac{a_i}{n-1}$$ Así, restando la misma expresión para $a_j$ : $$a_i^2-a_j^2=\frac{a_j-a_i}{n-1}$$ y por lo tanto $a_i=a_j$ o podemos dividir por $a_i-a_j$ para conseguir $a_i+a_j=\frac{-1}{n-1}$ . Así que podemos arreglar $a_1$ y luego decidir para cada $a_j$ si $a_j=a_1$ o $a_j=\frac{-1}{n-1}-a_1$ (nótese que podemos hacer esto ya que $a=\frac{-1}{n-1}-(\frac{-1}{n-1}-a)$ ). Por lo tanto, sólo puede haber dos valores diferentes de todos $a_i$ . Dejemos ahora $$\{a_1,a_2,\cdots,a_k,a_{k+1},\cdots,a_n\}$$ sea igual a $$\{\underbrace{a,a,\cdots,a}_k,\underbrace{b,\cdots,b}_{n-k}\}$$ donde $a>b$ (tenga en cuenta que, si $a=b$ , entonces obtenemos $a^2=\frac{(n-1)a}{n-1}=a$ para que $a=0$ o $a=1$ ).
Limitación de $a$ y $b$ a un intervalo
Si ahora $a$ es mayor que $1$ entonces su cuadrado es mayor que el de todos los demás números, por tanto mayor que su media - contradicción. Si $a\leq0$ entonces $b^2$ es positivo y, por tanto, mayor que todos los demás números, por lo que es mayor que su media; de nuevo, contradicción. Así que ahora sabemos que $a\in(0,1]$ y $b\in(-\infty,0]$ .
Comparando $b^2$ con $a$
También sabemos que si $b^2>a$ entonces $b^2$ es mayor que todos los demás números, con lo que se vuelve a producir la misma contradicción. Si $b^2=a$ entonces sabemos que sólo hay una $b$ Es decir, $\{a_1,\cdots,a_n\}=\{a,\cdots,a,b\}$ (en caso contrario, la media de los otros números, que contienen al menos un $b$ es menor que $a$ Así que.., $b^2<a$ , contradicción). Entonces obtenemos $$a^2=\frac{(n-2)a+b}{n-1}$$ o, sustituyendo $b^2$ para $a$ vemos $$b^4-\frac{n-2}{n-1}b^2-\frac{1}{n-1}b=0$$ Desde $b=0$ no es posible (manejamos $a=b$ ya, y $b=0$ implica $a=b=0$ ), podemos dividir por $b$ y como $b=1$ no es posible (ya que $b\in(-\infty,0]$ ), podemos dividir por $b-1$ para obtener una bonita ecuación cuadrática: $$b^2+b+\frac{1}{n-1}=0$$ Podemos ver que las raíces son $$b=-\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{4}{n-1}}$$ Esto no tiene soluciones para $n\leq 4$ para el discriminante es negativo, pero para $n\geq 5$ es un número real. Sólo tenemos que comprobar si está en el intervalo $(-\infty,0]$ y luego calcular $a=b^2$ para obtener más soluciones. Desde $1\geq\frac{4}{n-1}>0$ tenemos $0\leq 1-\frac{4}{n-1}<1$ para que $0\leq\sqrt{1-\frac{4}{n-1}}<1$ Así que $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{4}{n-1}}<0$ y $-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{4}{n-1}}\leq-\frac12$ . Así que para todos $n\leq 5$ , $b$ se encuentra en el intervalo correcto, por lo que todas ellas forman soluciones (nótese que necesitábamos $b=\frac{-1}{n-1}-a$ pero ya lo hemos cubierto, ya que sustituyendo $b^2$ para $a$ produce exactamente la misma ecuación cuadrática que hemos resuelto, $b^2+b+\frac{1}{n-1}=0$ ). Ahora calculamos $a$ , ya que también $a$ tiene que estar en el intervalo correcto también: $$a=\frac{1}{2}-\frac{1}{n-1}\mp\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{4}{n-1}}$$ donde el $\mp$ significa que si elegimos $+$ para $b$ entonces necesitamos $-$ para $a$ y viceversa. Si elegimos $+$ para $a$ entonces está claro, por el mismo razonamiento que hicimos para $b$ que $a\in(0,1]$ . Si elegimos $-$ , entonces seguramente es menor que $1$ pero necesitamos algunas aproximaciones mejores para demostrar que es positiva. Sabemos que $(\frac{2}{n-1})^2>0$ Así que.., $1-\frac{4}{n-1}<1-\frac{4}{n-1}+(\frac{2}{n-1})^2$ , por lo que debemos tener $1-\frac{4}{n-1}<(1-\frac{2}{n-1})^2$ . Dado que ambos $1-\frac{4}{n-1}$ y $1-\frac{2}{n-1}$ son positivos, ahora podemos concluir con seguridad que $\sqrt{1-\frac{4}{n-1}}<1-\frac{2}{n-1}$ y así sabemos que $\frac12\sqrt{1-\frac{4}{n-1}}+\frac{1}{n-1}<\frac12$ por lo que ahora sabemos que $0<\frac12-\frac{1}{n-1}-\frac12\sqrt{1-\frac{4}{n-1}}$ . Finalmente, hemos terminado con este caso. Un último caso, y es $b^2<a$ . Recordemos que el número de $a$ es $k$ y el número de $b$ es $n-k$ . Ahora tenemos $$a^2=\frac{(k-1)a+(n-k)b}{n-1}$$ por lo que, aún utilizando $b=\frac{-1}{n-1}-a$ vemos $$a^2=\frac{(k-1)a+(n-k)(\frac{-1}{n-1}-a)}{n-1}$$ y podemos resolver esto para $a$ para obtener $$a=\frac{-1+2k-n\pm\sqrt{(2k-n)^2+1-2n}}{2(n-1)}$$ y su correspondiente $b$ es $$b=\frac{-1-2k+n\mp\sqrt{(2k-n)^2+1-2n}}{2(n-1)}$$ y esto da lugar a una solución siempre que el discriminante sea no negativo, es decir, cuando $0\leq k\leq\frac{1}{2}(n-\sqrt{2n-1})$ o $\frac{1}{2}(n+\sqrt{2n-1})\leq k\leq n$ . Obsérvese que obtenemos las soluciones para $b^2=a$ cuando $k=1$ o $k=n-1$ y obtenemos las soluciones "todo $0$ " o "todos $1$ " cuando $k=0$ o $k=n$ .
