Demostrando que hay infinitos números enteros que tienen el mismo conjunto de factores primos.

Question

Sean enteros positivos $a$ y $b$, y sea $a_0, a_1, a_2 \ldots$ donde $a_i = a + b*i$ es la secuencia aritmética infinita que determinan. Demuestra que hay infinitos $a_i$ que tienen el mismo conjunto de factores primos.

Answer 1

Notemos que es suficiente demostrar que la secuencia $x_n=nb+1$ contiene infinitos enteros que tienen los mismos factores primos. De hecho, si existe una subsecuencia $x_{n_i}$ tal, la secuencia $a+b(an_i)=ax_{n_i}$ está contenida en la secuencia $a_i$ y esos números tienen el mismo conjunto de factores primos.

Ahora observemos que $x_n^2=n^2b^2+2nb+1=(n^2b+2n)b+1=x_{n^2b+2n}$, y obviamente $x_n$ y $x_n^2$ tienen los mismos factores primos. Sigue elevando al cuadrado para encontrar la secuencia requerida.