Convergencia de la serie un si $f(a_n)$ converge

Question

Estoy tratando de probar lo siguiente:

$f$ es diferenciable en $0$ para que $f(0)=0$ y $f'(0) \neq 0$ . También la serie $\{a_n\}$ es positivo para todos los $n$ y $\{a_n\}\to 0$ . Demostrar que $$\sum f(a_n) \text{ converges }\iff\sum a_n \text{ converges.}$$

El $\Leftarrow$ parte era bastante fácil, estoy atascado en el $\Rightarrow$ parte. Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

SUGERENCIA:

Obsérvese que podemos escribir

$$f(a_n)=f(0)+f'(0)a_n+o(1)a_n=a_n(f'(0)+o(1))$$

utilizando Teorema de Taylor con la forma Peano del resto.

Por lo tanto, vemos que

$$\sum f(a_n)= \sum a_n(f'(0)+o(1))$$

y

$$\sum a_n =\sum \frac{f(a_n)}{f'(0)+o(1)}$$

Answer 2

Sugerencia . Por la expansión en serie de Taylor, como $x \to 0$ , uno tiene $$ f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+o\left(x\right) $$ dando $$ f(x)=f'(0)x+o\left(x\right) $$ y, usando eso $a_n \to 0$ como $n \to \infty$ se puede encontrar un $n_0$ tal que $$ \sum_{n=n_0}^Nf(a_n)=f'(0)\sum_{n=n_0}^Na_n+\sum_{n=n_0}^N o\left(a_n\right) $$ Entonces se puede concluir con la prueba de comparación utilizando $f'(0) \neq 0$ .