Ecuaciones de la línea que interseca las líneas $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ y $\frac{x+2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{4}$

Question

Hallar las ecuaciones de la recta que interseca las rectas $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ y $\frac{x+2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{4}$ y pasa por el punto $(1,1,1)$ .

Primero pensé que la línea requerida pasaba por el punto de intersección de las líneas dadas, pero al comprobarlo, las líneas no se intersecan. Entonces, ¿no significa eso que habrá infinitas líneas que satisfagan las condiciones dadas?

Answer 1

Elijamos $P_1(2t+1,3t+2,4t+3)$ en la primera línea, y $P_2(s-2,2s+3,4s-1)$ en la segunda línea.

el punto $P(1,1,1)$ es conocido.

Así que dejemos $P_1,P_2,P$ en la misma línea, es decir

resolver $|\vec{P P_1} \times \vec{P P_2}| = 0$ para obtener la relación entre $s$ y $t$ (tal vez incluso los valores exactos de los mismos)

Answer 2

Escribir la primera ecuación en la forma $$ [x,y,z]=[1,2,3]+t[2,3,4]$$ y la segunda en la forma $$[x,y,z]=[-2,3,-1]+s[1,2,4]$$

Answer 3

No puedo comentar:

Para llegar al resultado que obtienen J. Wu y el Dr. Sonnard Graubner, se puede suponer que todo es igual a $t$ o por separado

$$t=\frac{x-1}{2}; t=\frac{y-2}{3};t=\frac{z-3}{4}$$

y resolver para $x,y,$ y $z$ en cada una de las ecuaciones por separado