Supongamos $\Omega$ es un dominio del plano complejo (es decir, una abierta y conectada con el subconjunto del plano). Supongamos $f$ es holomorphic en $\Omega$, e $f$ no es idéntica a cero.
Supongamos $f$ tiene un holomorphic logaritmo en $\Omega$, lo que significa que existe una función de $g$ holomorphic en $\Omega$ tal que $e^g=f$. Entonces es fácil mostrar que $f$ ha holomorphic $n$-th raíces en $\Omega$ por cada $n$, lo que significa que para cada entero $n$, existe una función de $g_n$ holomorphic en $\Omega$ tal que $(g_n)^n = f$.
Es a la inversa verdad? es decir, si $f$ ha holomorphic $n$-th raíces en $\Omega$ todos los $n$, entonces podemos encontrar una función $g$ holomorphic en $\Omega$ tal que $f=e^g$?
Un par de observaciones :
Se puede probar que si $f$ ha holomorphic $n$-th raíces en $\Omega$ todos los $n$, $f$ no desaparecen en $\Omega$. Por lo tanto, podemos definir un holomorphic logaritmo localmente, pero es posible encontrar un global de holomorphic logaritmo?
Además, observe que $\Omega$ no se supone que simplemente se conecta, en cuyo caso la respuesta a mi pregunta es sí.
