Estoy tratando de encontrar una base para la ampliación del campo $\mathbb{Q}(\zeta , \sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ , donde $\zeta$ es la raíz cúbica de la unidad. Lo he intentado partiendo de un conjunto de elementos que conozco y que abarcan el campo, es decir $1, \zeta, \zeta^2,\sqrt[3]{2}, \zeta\sqrt[3]{2}, \zeta^2\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2^2}, \zeta\sqrt[3]{2^2}, \zeta^2\sqrt[3]{2^2}$
A partir de este conjunto de extensión, tengo que cribar los elementos que son una combinación lineal de otros elementos para obtener una base. He decidido eliminar $\zeta^2, \zeta^2\sqrt[3]{2}, \zeta^2\sqrt[3]{2^2}$ porque $\zeta^2=-1-\zeta$ . ¿He eliminado correctamente los elementos dependientes?
Pero entonces la siguiente parte de la pregunta pide encontrar los 3 automorfismos del campo. Si $\sigma$ es un automorfismo. Pero entonces, ¿qué hace $\sigma (\zeta)$ y $\sigma(\sqrt[3]{2})$ igual
